कक्षा ९ गणित अध्याय 5 प्रश्नावली 5.5 के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-08

प्र1.

वृत्त की जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए, जिसकी त्रिज्या 7 सेंटीमीटर है और केंद्र से लंबवत दूरी 6 सेंटीमीटर है।

उत्तर

जीवा = 2√13 सेंटीमीटर ≈ 7.2 सेंटीमीटर।

मान लीजिए AB जीवा है, O केंद्र है और M, O से खींचे गए लंब का पाद है।
प्रमेय 5 के अनुसार M, AB का मध्यबिंदु है और ΔOMA, M पर समकोण है।

AM² = OA² − OM² = 7² − 6² = 49 − 36 = 13
AM = √13 सेंटीमीटर
AB = 2 × AM = 2√13 सेंटीमीटर ≈ 7.21 सेंटीमीटर

स्वयं जाँचिए: उत्तर व्यास 14 सेंटीमीटर से कम होना चाहिए — और है भी। साथ ही 7 सेंटीमीटर त्रिज्या के लिए 6 सेंटीमीटर काफ़ी बड़ी दूरी है, अत: छोटी-सी जीवा मिलना अपेक्षित ही था।

प्र2.

स्पष्ट कीजिए कि दिया गया कथन सत्य क्यों है— यदि केंद्र से जीवा की लंबवत दूरी d है और त्रिज्या r है तो जीवा की लंबाई 2√(r² − d²) होगी।

उत्तर

दिया गया है: केंद्र O और त्रिज्या r वाला वृत्त; जीवा AB, जिसकी O से लंबवत दूरी d है। सिद्ध करना है: AB = 2√(r² − d²)।

मान लीजिए M, O से AB पर खींचे गए लंब का पाद है, अत: OM = d और ∠OMA = 90°।
प्रमेय 5 (केंद्र से खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है) से AM = MB = ½ AB।

समकोण त्रिभुज OMA में बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय से —
OA² = OM² + AM²
r² = d² + AM²
AM² = r² − d²
AM = √(r² − d²)

AB = 2 AM = 2√(r² − d²)

त्रिज्या, दूरी और आधी जीवा वाला यही एक समकोण त्रिभुज पूरे अध्याय की गणनाएँ चलाता है।

सूत्र को पढ़िए: d = 0 रखिए तो AB = 2r मिलता है — व्यास, सबसे लंबी जीवा। d को r की ओर बढ़ाइए तो जीवा घटकर शून्य की ओर जाती है। और चूँकि d बढ़ने पर r² − d² घटता है, अधिक दूरी का अर्थ सदैव छोटी जीवा — यही प्रमेय 8 एक पंक्ति में है।

प्र3.

किसी वृत्त में, यदि किसी जीवा AB की केंद्र से दूरी अन्य जीवा CD की केंद्र से दूरी की दोगुनी है तो क्या हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि CD = 2AB है? कारण सहित उत्तर दीजिए।

उत्तर

नहीं, ऐसा निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता। CD = 2AB सामान्यत: असत्य है; यह केवल एक विशेष स्थिति में ही सत्य होता है।

मान लीजिए CD की केंद्र से दूरी d है, अत: AB की दूरी 2d है।
AB = 2√(r² − 4d²) और CD = 2√(r² − d²)

r = 10 सेंटीमीटर और d = 3 सेंटीमीटर लीजिए —
CD = 2√(100 − 9) = 2√91 ≈ 19.08 सेंटीमीटर
AB = 2√(100 − 36) = 2√64 = 16 सेंटीमीटर
CD / AB ≈ 1.19, 2 नहीं।

तो CD = 2AB कब होगा?

2√(r² − d²) = 2 × 2√(r² − 4d²)
r² − d² = 4(r² − 4d²)
r² − d² = 4r² − 16d²
15d² = 3r² ⇒ r² = 5d², अर्थात r = d√5

जाँच — d = 2, r = 2√5: CD = 2√(20 − 4) = 8, AB = 2√(20 − 16) = 4 ✓

यह अनुमान क्यों गलत है: दूरी और जीवा की लंबाई परस्पर समानुपाती नहीं हैं। ये d² + (आधी जीवा)² = r² द्वारा जुड़ी हैं, जो एक वर्ग संबंध है, अत: एक राशि को दोगुना करने से दूसरी न आधी होती है, न दोगुनी। प्रमेय 8 से हम केवल इतना कह सकते हैं कि AB केंद्र से अधिक दूर है, अत: AB छोटी जीवा है और CD > AB। CD, AB का 1.1 गुना है या ठीक 2 गुना — यह r पर निर्भर करता है।

क्या यह उपयोगी रहा? त्रुटि बताएँ