कक्षा ९ गणित अध्याय 5 पाठ्य प्रश्न के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-08

प्र1.

प्रश्न — एक वृत्त बनाया गया है जिसका केंद्र O है तथा A, B, C और D वृत्त पर स्थित बिंदु हैं (चित्र 5.19 देखिए)। चाप AKB तथा चाप CLD द्वारा केंद्र O पर अंतरित कोण मापिए। यदि केंद्र पर अंतरित कोण 180° से कम है तो यह एक लघु चाप है। यदि केंद्र पर अंतरित कोण 180° से अधिक है तो यह एक दीर्घ चाप है। बताइए कि क्या चाप AKB और CLD लघु चाप हैं या दीर्घ चाप हैं।

उत्तर

चित्र 5.19 में चाँदे से दोनों कोण मापने पर —

चाप	O पर अंतरित कोण	180° से कम / अधिक	प्रकार
चाप AKB	लगभग 100°	180° से कम	लघु चाप
चाप CLD	लगभग 205° (प्रतिवर्ती)	180° से अधिक	दीर्घ चाप

चित्र को सही ढंग से कैसे पढ़ें। चाप द्वारा अंतरित कोण वह कोण है जो त्रिज्या चाप के एक सिरे से दूसरे सिरे तक उसी चाप के अनुदिश घूमने पर बनाती है।

चाप AKB के लिए OA से OB तक OK से होकर जाना है। K, A और B के बीच छोटे मार्ग पर है, अत: साधारण (अप्रतिवर्ती) कोण AOB बनता है — लगभग 100°।
चाप CLD के लिए OC से OD तक OL से होकर जाना है। L लंबे मार्ग पर स्थित है, अत: प्रतिवर्ती कोण COD बनता है — लगभग 205°। सीधा कोण COD लगभग 155° है, किंतु वह C से D तक जाने वाले दूसरे चाप का कोण है, जिस पर L नहीं है।

चाप CLD का कोण + C से D तक के दूसरे चाप का कोण = 360°
205° + 155° = 360° ✓

बीच का अक्षर क्यों आवश्यक है: "चाप CD" कहना अस्पष्ट है — C और D को जोड़ने वाले दो चाप होते हैं। CLD लिखने से बीच का बिंदु L नाम में आ जाता है और यह निश्चित हो जाता है कि दोनों में से कौन-सा चाप है। पुस्तक चाप के लिए तीन अक्षर इसीलिए लिखती है।

प्र2.

गतिविधि — एक वृत्त बनाइए, जिसमें एक जीवा AB हो। एक चाप AKB चुनिए, जो जीवा AB के अंत्य बिंदुओं A व B एवं वृत्त पर बिंदुओं A व B के मध्य किसी बिंदु K से मिलकर बनी हो। चाप AKB द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण को मापिए। वृत्त पर स्थित कोई तीन बिंदु P, Q, R लीजिए, जो चाप AKB के बाहर स्थित हों। चाप AKB द्वारा बिंदुओं P, Q, R पर अंतरित कोण मापिए। आपने क्या ध्यान दिया?

उत्तर

दो बातें सामने आती हैं और दोनों मिलकर प्रमेय 9 हैं।

तीनों कोण ∠APB, ∠AQB और ∠ARB परस्पर समान मिलते हैं — वृत्त पर (चाप AKB के बाहर) बिंदु कहीं भी लीजिए, कोई अंतर नहीं पड़ता।
इनमें से प्रत्येक कोण, चाप AKB द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का ठीक आधा है।

एक नमूना माप (स्वयं बनाकर जाँचिए) —
केंद्र पर कोण, ∠AOB = 110°
∠APB = ∠AQB = ∠ARB = 55° = ½ × 110°

ऐसा क्यों होना ही है: P को केंद्र O से मिलाइए और PO को आगे बढ़ाकर वृत्त पर मिलाइए। इससे ∠APB दो भागों में बँट जाता है और प्रत्येक भाग ऐसे समद्विबाहु त्रिभुज में है जिसकी दो समान भुजाएँ त्रिज्याएँ हैं। बाह्य कोण प्रमेय प्रत्येक भाग को केंद्र पर दोगुना कर देती है। दोनों भागों को जोड़ने पर ∠AOB = 2∠APB मिलता है — और इस तर्क में कहीं भी यह नहीं आया कि P कहाँ है, केवल यह कि वह चाप के बाहर वृत्त पर है। इसीलिए P की हर स्थिति एक ही उत्तर देती है।

यह भी कीजिए: अब वृत्त के अंदर एक बिंदु F और बाहर एक बिंदु G लेकर ∠AFB और ∠AGB मापिए। आपको ∠AGB < ∠APB < ∠AFB मिलेगा। कोण की यह अपरिवर्तनीयता केवल वृत्त पर स्थित बिंदुओं की विशेषता है — चित्र 5.25 देखिए।

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