कक्षा ९ गणित अध्याय 5 अंतिम प्रश्नावली के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-08

प्र1.

किसी वृत्त में, केंद्र से 5 सेंटीमीटर दूरी पर एक जीवा है। यदि वृत्त की त्रिज्या 13 सेंटीमीटर है तो जीवा की लंबाई क्या है?

उत्तर

जीवा = 24 सेंटीमीटर।

(आधी जीवा)² = r² − d² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
आधी जीवा = 12 सेंटीमीटर
जीवा = 2 × 12 = 24 सेंटीमीटर

संकेत: (5, 12, 13) एक बौधायन त्रिक है, अत: वर्गमूल निकालने की आवश्यकता ही नहीं पड़ती। (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17) और (7,24,25) याद रखिए — इस प्रश्नावली के प्रश्न इन्हीं से बने हैं।

प्र2.

एक वृत्त का चाप केंद्र पर 70° कोण अंतरित करता है। इस चाप द्वारा वृत्त के किसी बिंदु पर अंतरित कोण की माप क्या है?

उत्तर

35°, वृत्त के उस किसी भी बिंदु पर जो उस चाप के बाहर स्थित है।

प्रमेय 9 से: केंद्र पर कोण = 2 × चाप के बाहर वृत्त के बिंदु पर बना कोण
70° = 2 × बिंदु पर कोण
बिंदु पर कोण = 70° ÷ 2 = 35°

उत्तर बिंदु पर निर्भर क्यों नहीं करता: आधा करने वाले तर्क में केवल इतना ही उपयोग होता है कि बिंदु वृत्त पर है और चाप के बाहर है — कहाँ है, यह कभी नहीं। अत: ऐसा प्रत्येक बिंदु 35° ही देता है; इसीलिए एक ही वृत्तखंड के सभी कोण समान होते हैं।

सावधान: दूसरी ओर का बिंदु — अर्थात 70° वाले चाप पर ही स्थित बिंदु — जीवा को 180° − 35° = 145° के कोण पर देखेगा, 35° पर नहीं। प्रमेय चाप के बाहर स्थित बिंदुओं के विषय में है।

प्र3.

किसी वृत्त का व्यास 26 सेंटीमीटर है। वृत्त में 24 सेंटीमीटर लंबी जीवा बनाई गई है। वृत्त के केंद्र से जीवा की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर

दूरी = 5 सेंटीमीटर।

त्रिज्या r = 26 ÷ 2 = 13 सेंटीमीटर
आधी जीवा = 24 ÷ 2 = 12 सेंटीमीटर (प्रमेय 5: केंद्र से खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है)

d² = r² − (आधी जीवा)² = 13² − 12² = 169 − 144 = 25
d = 5 सेंटीमीटर

संकेत: यह प्रश्न 1 को उलटकर पूछा गया है — वही वृत्त, वही जीवा, केवल अज्ञात राशि समीकरण के दूसरे पक्ष में चली गई है।

प्र4.

किसी वृत्त की त्रिज्या 15 सेंटीमीटर है। वृत्त में एक जीवा बनाई गई है। वृत्त के केंद्र से जीवा की दूरी 9 सेंटीमीटर है। जीवा की लंबाई क्या है?

उत्तर

जीवा = 24 सेंटीमीटर।

जीवा = 2√(r² − d²)
= 2√(15² − 9²)
= 2√(225 − 81)
= 2√144 = 2 × 12 = 24 सेंटीमीटर

स्वयं जाँचिए: (9, 12, 15) वस्तुत: (3, 4, 5) का तीन गुना है। और 24 सेंटीमीटर, व्यास 30 सेंटीमीटर से कम है — जैसा प्रत्येक जीवा के लिए होना ही चाहिए।

प्र5.

सिद्ध कीजिए कि किसी जीवा का लंब समद्विभाजक वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।

उत्तर

दिया गया है: केंद्र O वाला वृत्त और उसकी जीवा AB। सिद्ध करना है: AB का लंब समद्विभाजक O से होकर जाता है।

OA = OB = r (दोनों त्रिज्याएँ हैं)
अत: O, A और B से समदूरस्थ है।
A और B से समदूरस्थ प्रत्येक बिंदु AB के लंब समद्विभाजक पर स्थित होता है।
∴ O, AB के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।

बिंदुपथ वाला चरण विस्तार से। मान लीजिए M, AB का मध्यबिंदु है और OM मिलाइए। ΔOMA और ΔOMB में — OA = OB (त्रिज्याएँ), AM = BM (M मध्यबिंदु है), OM उभयनिष्ठ। SSS द्वारा ΔOMA ≅ ΔOMB, अत: ∠OMA = ∠OMB। ये रेखीय युग्म हैं, अत: ∠OMA + ∠OMB = 180°, जिससे ∠OMA = ∠OMB = 90°। इस प्रकार OM, AB पर लंब है और उसे समद्विभाजित करता है — अर्थात OM ही लंब समद्विभाजक है और वह O से होकर जाता है।

यह छोटा-सा परिणाम इतना महत्त्वपूर्ण क्यों है: परिकेंद्र की रचना इसी पर टिकी है। तीन बिंदु दिए हों तो प्रत्येक भुजा का लंब समद्विभाजक केंद्र को अपने में समेटे रहता है, अत: दो समद्विभाजक ही केंद्र को निश्चित कर देते हैं। दिए गए वृत्त का केंद्र खोजने की व्यावहारिक विधि भी यही है — कोई भी दो जीवाएँ खींचिए, उनके लंब समद्विभाजक बनाइए, वे केंद्र पर काटेंगे।

प्र6.

किसी वृत्त का व्यास AB है। वृत्त की परिधि पर कोई बिंदु C स्थित है। ∠ACB की माप क्या है? अपने तर्क की व्याख्या कीजिए।

उत्तर

∠ACB = 90° — अर्धवृत्त का कोण समकोण होता है।

मान लीजिए O केंद्र है, अत: A, O, B संरेखीय हैं और AB व्यास है।
A से B तक वह चाप लीजिए जिस पर C नहीं है। वह चाप O पर ऋजु कोण अंतरित करता है —
∠AOB = 180°

C वृत्त पर उस चाप के बाहर स्थित है, अत: प्रमेय 9 से
∠ACB = ½ ∠AOB = ½ × 180° = 90°

समद्विबाहु त्रिभुजों से दूसरी उपपत्ति। OC मिलाइए। तब OA = OC = OB = r, अत: ΔOAC और ΔOBC दोनों समद्विबाहु हैं।

मान लीजिए ∠OAC = ∠OCA = p और ∠OBC = ∠OCB = q
ΔABC के कोणों का योग: p + q + ∠ACB = 180°, और ∠ACB = p + q
अत: 2(p + q) = 180° ⇒ p + q = 90° ⇒ ∠ACB = 90°

क्या आप जानते हैं? इसका विलोम भी सत्य है और बहुत काम आता है: यदि A और B से होकर जाने वाले वृत्त पर किसी बिंदु C के लिए ∠ACB = 90° हो तो AB अवश्य ही व्यास होगा। नीचे प्रश्न 15 इसी से हल होता है।

प्र7.

ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जो एक वृत्त के अंतर्गत बनाया गया है। यदि ∠A की माप 75° है तो ∠C की माप कितनी होगी? यदि ∠B की माप 110° है तो ∠D की माप कितनी होगी?

उत्तर

∠C = 105° और ∠D = 70°।

प्रमेय 11 से चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं।

∠A + ∠C = 180° ⇒ 75° + ∠C = 180° ⇒ ∠C = 105°
∠B + ∠D = 180° ⇒ 110° + ∠D = 180° ⇒ ∠D = 70°

स्वयं जाँचिए: 75° + 110° + 105° + 70° = 360° ✓ — चतुर्भुज के कोणों का योग ठीक आता है, जैसा आना चाहिए।

प्र8.

चतुर्भुज PQRS एक वृत्त के अंतर्गत बनाया गया है। यदि ∠P = (2x + 10)° और ∠R = (3x − 20)° है तो x का मान और ∠P व ∠R की माप ज्ञात कीजिए।

उत्तर

x = 38, ∠P = 86° और ∠R = 94°।

चतुर्भुज PQRS में P और R सम्मुख शीर्ष हैं, अत:
∠P + ∠R = 180°
(2x + 10) + (3x − 20) = 180
5x − 10 = 180
5x = 190
x = 38

∠P = 2(38) + 10 = 76 + 10 = 86°
∠R = 3(38) − 20 = 114 − 20 = 94°

स्वयं जाँचिए: 86° + 94° = 180° ✓, और दोनों कोण धनात्मक तथा 180° से कम हैं, अत: चतुर्भुज वास्तविक है।

प्र9.

16 सेंटीमीटर लंबी जीवा की वृत्त के केंद्र से दूरी 6 सेंटीमीटर है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर

त्रिज्या = 10 सेंटीमीटर।

आधी जीवा = 16 ÷ 2 = 8 सेंटीमीटर
r² = d² + (आधी जीवा)² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
r = 10 सेंटीमीटर

संकेत: (6, 8, 10), (3, 4, 5) का दोगुना है। प्रश्न 1, 3, 4 और 9 में एक ही संबंध r² = d² + (आधी जीवा)² है, बस हर बार अज्ञात राशि बदल जाती है।

प्र10.

एक चक्रीय चतुर्भुज की भुजाएँ 5, 5, 12 और 12 इकाई हैं। चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर

क्षेत्रफल = 60 वर्ग इकाई।

मान लीजिए चतुर्भुज ABCD है जिसमें AB = BC = 5 और CD = DA = 12 है — दोनों समान युग्म आस-पास हैं, अत: यह एक पतंग (काइट) है। विकर्ण BD मिलाइए।

पतंग BD के सापेक्ष सममित है, अत: ∠A = ∠C।
ABCD चक्रीय है, अत: ∠A + ∠C = 180° (प्रमेय 11)
⇒ 2∠A = 180° ⇒ ∠A = ∠C = 90°

अत: ΔABD, A पर और ΔCBD, C पर समकोण हैं।
BD² = AB² + AD² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 ⇒ BD = 13

क्षेत्रफल = ΔABD का क्षेत्रफल + ΔCBD का क्षेत्रफल
= ½ × 5 × 12 + ½ × 5 × 12
= 30 + 30 = 60 वर्ग इकाई

पतंग चक्रीय है, अत: A और C पर बने दोनों समान कोण 90° के ही होंगे — और BD व्यास बन जाता है।

यदि भुजाएँ 5, 12, 5, 12 के क्रम में हों: सम्मुख भुजाएँ समान हैं, अत: चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज है; और चक्रीय समांतर चतुर्भुज आयत होता है (प्रश्न 14), अत: क्षेत्रफल = 5 × 12 = 60 वर्ग इकाई ही आएगा।

दोनों क्रमों में 60 क्यों: दोनों ही स्थितियों में आकृति 5 और 12 भुजाओं तथा 13 कर्ण वाले दो समकोण त्रिभुजों में बँट जाती है। वस्तुत: दोनों में BD = 13 एक व्यास है, अत: परित्रिज्या भी दोनों में 6.5 इकाई है।

प्र11.

एक चक्रीय चतुर्भुज पर विचार कीजिए। चतुर्भुज के परिवृत्त की रचना किए बिना हम किस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं कि परिवृत्त का केंद्र चतुर्भुज के अंदर या बाहर स्थित होगा? इसे ज्ञात करने की सबसे उपयुक्त विधि क्या है?

उत्तर

सबसे उपयुक्त विधि: एक विकर्ण खींचिए और उससे बने दोनों त्रिभुजों को देखिए।

कोई एक विकर्ण, मान लीजिए AC, चक्रीय चतुर्भुज ABCD को ΔABC और ΔACD में बाँट देता है। दोनों त्रिभुज उसी वृत्त के अंतर्गत हैं, अत: चतुर्भुज का परिकेंद्र इन दोनों त्रिभुजों का भी परिकेंद्र है। और त्रिभुज का परिकेंद्र कहाँ रहता है, यह हम जानते ही हैं —

त्रिभुज ABC या ACD	परिकेंद्र कहाँ	ABCD के लिए निष्कर्ष
इनमें से एक न्यूनकोण त्रिभुज है	उसी त्रिभुज के अंदर	चतुर्भुज के अंदर
इनमें से एक समकोण त्रिभुज है	उसके कर्ण के मध्यबिंदु पर	विकर्ण AC पर (AC व्यास है)
दोनों अधिक कोण त्रिभुज हैं	दोनों के बाहर	चतुर्भुज के बाहर

भुजाओं की सहायता से समतुल्य जाँच। चतुर्भुज की प्रत्येक भुजा एक चाप काटती है। केंद्र अंदर तभी होगा जब कोई भी भुजा अर्धवृत्त से बड़ा चाप न काटे। चूँकि अंतरित कोण चाप का आधा होता है, यह जाँच चाँदे से की जा सकती है —

प्रत्येक भुजा द्वारा सम्मुख शीर्षों में से किसी एक पर बना कोण देखिए —
∠ACB (भुजा AB पर), ∠BDC (भुजा BC पर), ∠CAD (भुजा CD पर), ∠DBA (भुजा DA पर)

चारों 90° से कम ⇒ केंद्र अंदर
इनमें से एक ठीक 90° ⇒ केंद्र उसी भुजा पर (वह भुजा व्यास है)
इनमें से एक 90° से अधिक ⇒ केंद्र बाहर

एक कोण 90° से बड़ा होते ही केंद्र बाहर क्यों चला जाता है: यदि ∠ACB > 90° है तो C को न रखने वाला चाप AB अर्धवृत्त से बड़ा है, अत: C और D दोनों जीवा AB के एक ही ओर, अर्धवृत्त से छोटे चाप पर सिमट जाते हैं। केंद्र AB के दूसरी ओर रह जाता है — चतुर्भुज के बाहर। यह वही क्रियाविधि है जो अधिक कोण त्रिभुज के परिकेंद्र को बाहर धकेल देती है।

संकेत: आयत में केंद्र विकर्णों के प्रतिच्छेद बिंदु पर होता है (प्रश्न 15); और यदि चतुर्भुज बहुत चपटा हो, चारों शीर्ष एक ही छोटे चाप पर सिमटे हों, तो केंद्र काफ़ी बाहर पड़ता है।

प्र12.

जब वृत्त की दो जीवाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं तो प्रत्येक जीवा दो रेखाखंडों में विभक्त हो जाती है। प्रदर्शित कीजिए कि यदि दोनों जीवाओं की लंबाई समान हो, तो पहली जीवा के रेखाखंड दूसरी जीवा के संगत रेखाखंडों के समान होंगे।

उत्तर

दिया गया है: केंद्र O वाले वृत्त की जीवाएँ AB और CD, जिनमें AB = CD है और जो वृत्त के अंदर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध करना है: AB के दोनों भाग CD के भागों के समान हैं।

चरण 1 — समान जीवाएँ केंद्र से समदूरस्थ हैं। मान लीजिए M और N क्रमश: AB और CD के मध्यबिंदु हैं। प्रमेय 6 से OM = ON, तथा OM ⊥ AB और ON ⊥ CD।

चरण 2 — P दोनों मध्यबिंदुओं से समदूरस्थ है।

ΔOMP और ΔONP में —
∠OMP = ∠ONP = 90°
OP = OP (उभयनिष्ठ कर्ण)
OM = ON (चरण 1)
RHS सर्वांगसमता द्वारा ΔOMP ≅ ΔONP ⇒ PM = PN

चरण 3 — अब भागों को जोड़िए। M और N मध्यबिंदु हैं, अत: AM = MB = ½AB और CN = ND = ½CD; और AB = CD से AM = CN।

AP = AM − PM और CP = CN − PN (मान लीजिए P, A और M के बीच है)
AM = CN तथा PM = PN ⇒ AP = CP

PB = MB + PM और PD = ND + PN ⇒ PB = PD

अत: {AP, PB} और {CP, PD} एक ही लंबाइयों का युग्म हैं —
एक जीवा का प्रत्येक रेखाखंड दूसरी जीवा के संगत रेखाखंड के समान है।

मध्यबिंदु ही कुंजी क्यों हैं: दोनों जीवाएँ वृत्त में भिन्न-भिन्न स्थानों पर हैं, अत: उनके बीच सीधी सर्वांगसमता नहीं बनती। दोनों में उभयनिष्ठ केवल केंद्र है। O से होकर चलना — समान जीवाएँ ⇒ समान दूरी ⇒ P दोनों मध्यबिंदुओं से समान दूरी पर — ही दोनों जीवाओं को आपस में जोड़ता है।

संकेत: P मध्यबिंदु के किस ओर पड़ता है, इसके अनुसार AP का युग्म CP से बनेगा या PD से। याद रखने योग्य कथन यही है कि भागों का समुच्चय एक ही है: {AP, PB} = {CP, PD}।

प्र13.

एक वृत्त की रचना कीजिए, जिसमें 6 सेंटीमीटर लंबी जीवा वृत्त के केंद्र से 3 सेंटीमीटर दूरी पर स्थित हो। (संकेत— क्या यह किसी त्रिभुज का परिवृत्त है?)

उत्तर

वृत्त निश्चित हो जाता है: उसकी त्रिज्या 3√2 ≈ 4.24 सेंटीमीटर ही होगी।

r² = d² + (आधी जीवा)² = 3² + 3² = 9 + 9 = 18
r = √18 = 3√2 ≈ 4.24 सेंटीमीटर

सीधी रचना —

जीवा AB = 6 सेंटीमीटर खींचिए।
AB का लंब समद्विभाजक बनाइए; मान लीजिए वह AB को M पर काटता है।
उसी समद्विभाजक पर O ऐसा अंकित कीजिए कि OM = 3 सेंटीमीटर हो।
केंद्र O और त्रिज्या OA (≈ 4.2 सेंटीमीटर) लेकर वृत्त बनाइए। तब AB इस वृत्त की 6 सेंटीमीटर लंबी जीवा है, जो O से 3 सेंटीमीटर दूरी पर है।

संकेत का उत्तर। हाँ — यह एक त्रिभुज का परिवृत्त है, और वह त्रिभुज बहुत पहचाना हुआ है।

समकोण त्रिभुज OMA में: OM = MA = 3 सेंटीमीटर, अत: ∠MOA = 45°
∠AOB = 2 × 45° = 90°
अत: ΔAOB एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ 3√2 और कर्ण AB = 6 है।

केंद्रीय कोण 90° है, अत: दीर्घ चाप के किसी भी बिंदु C पर
∠ACB = ½ × 90° = 45°

अत: समतुल्य रचना यह है: AB = 6 सेंटीमीटर और ∠ACB = 45° वाला ΔABC बनाइए और उसका परिवृत्त खींचिए। उस वृत्त में जीवा AB = 6 सेंटीमीटर स्वत: केंद्र से 3 सेंटीमीटर दूरी पर होगी।

आधी जीवा 3 और दूरी 3 होने से ΔOMA 45° वाला समकोण त्रिभुज बनता है, अत: ∠AOB = 90° और r = 3√2।

प्र14.

दर्शाइए कि आयत ही एकमात्र ऐसा समांतर चतुर्भुज है जिसे वृत्त के अंतर्गत बनाया जा सकता है।

उत्तर

दिया गया है: वृत्त के अंतर्गत बना समांतर चतुर्भुज ABCD। सिद्ध करना है: ABCD एक आयत है।

ABCD समांतर चतुर्भुज है ⇒ सम्मुख कोण समान हैं:
∠A = ∠C और ∠B = ∠D

ABCD चक्रीय है ⇒ सम्मुख कोण संपूरक हैं (प्रमेय 11):
∠A + ∠C = 180°

∠C = ∠A रखने पर:
2∠A = 180° ⇒ ∠A = 90°, अत: ∠C = 90° भी
इसी प्रकार 2∠B = 180° ⇒ ∠B = ∠D = 90°

चारों कोण समकोण हैं ⇒ ABCD एक आयत है।

विलोम भी सत्य है, अत: कुछ छूटता नहीं: प्रत्येक आयत चक्रीय है ही। उसके विकर्ण समान होते हैं और परस्पर समद्विभाजित होते हैं, अत: उनका उभयनिष्ठ मध्यबिंदु चारों शीर्षों से समान दूरी पर रहता है — वही बिंदु A, B, C, D से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र है।

शेष समांतर चतुर्भुज क्यों बाहर हो जाते हैं: समचतुर्भुज या साधारण समांतर चतुर्भुज में एक युग्म न्यूनकोण और एक युग्म अधिक कोण होता है। दो समान कोणों का योग 180° तभी हो सकता है जब प्रत्येक ठीक 90° हो, अत: वृत्त के अंतर्गत आते ही समांतर चतुर्भुज का झुकाव समाप्त हो जाता है और वह आयत बन जाता है। वर्ग इसी की विशेष स्थिति है — वह भी आयत ही है।

प्र15.

दर्शाइए कि यदि एक आयत किसी वृत्त के अंतर्गत है तो उसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त के केंद्र पर ही स्थित होगा।

उत्तर

दिया गया है: वृत्त के अंतर्गत बना आयत ABCD। सिद्ध करना है: विकर्ण केंद्र पर मिलते हैं।

उपपत्ति 1 — प्रत्येक विकर्ण व्यास है।

∠ABC = 90° (आयत का कोण)
B वृत्त पर है और ∠ABC, जीवा AC द्वारा अंतरित कोण है।
अंतरित कोण 90° तभी होता है जब वह व्यास पर खड़ा हो (प्रमेय 9 के उपप्रमेय का विलोम)।
∴ AC एक व्यास है। इसी प्रकार ∠BAD = 90° ⇒ BD भी एक व्यास है।

दो व्यास दोनों केंद्र से होकर जाते हैं और दो भिन्न रेखाएँ केवल एक बिंदु पर मिलती हैं।
∴ उनका प्रतिच्छेद बिंदु ही केंद्र O है।

उपपत्ति 2 — आयत के गुणों से। आयत के विकर्ण समान होते हैं और परस्पर समद्विभाजित होते हैं। मान लीजिए वे P पर मिलते हैं। तब

PA = PC = ½ AC और PB = PD = ½ BD, जहाँ AC = BD
⇒ PA = PB = PC = PD
अत: P चारों शीर्षों से समदूरस्थ है — P ही उनसे होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र है, अर्थात P = O।

संकेत: इससे वृत्ताकार चकती का केंद्र शीघ्र ज्ञात करने की विधि मिलती है — उसमें एक आयत अंतर्निहित कीजिए और विकर्ण खींचिए, वे केंद्र पर काटेंगे। प्रश्न 10 भी इसी से स्पष्ट होता है: वहाँ विकर्ण 13 एक व्यास था, अत: परित्रिज्या 6.5 थी।

प्र16.

किसी वृत्त में एक निश्चित लंबाई की सभी जीवाओं पर विचार कीजिए। इन सभी जीवाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाने पर कौन-सी आकृति बनती है?

उत्तर

एक और वृत्त, उसी केंद्र वाला — त्रिज्या √(r² − ℓ²/4) का संकेंद्री वृत्त, जहाँ r दिए गए वृत्त की त्रिज्या और ℓ जीवा की निश्चित लंबाई है।

मान लीजिए O केंद्र है और AB लंबाई ℓ की कोई जीवा है, जिसका मध्यबिंदु M है।
प्रमेय 4 से OM ⊥ AB, अत: OM ही O से जीवा की दूरी है।

OM² = OA² − AM² = r² − (ℓ/2)²
OM = √(r² − ℓ²/4), जो ऐसी प्रत्येक जीवा के लिए एक ही मान है

अत: प्रत्येक मध्यबिंदु O से निश्चित दूरी पर है ⇒ सभी मध्यबिंदु O केंद्र वाले उसी त्रिज्या के वृत्त पर स्थित हैं।

और उस वृत्त का प्रत्येक बिंदु प्राप्त भी होता है। कोई भी बिंदु M लीजिए जिसके लिए OM = √(r² − ℓ²/4) है। M से होकर OM पर लंब जीवा खींचिए। प्रमेय 5 से वह M पर समद्विभाजित होती है और उसकी लंबाई 2√(r² − OM²) = 2 × (ℓ/2) = ℓ है। अत: M वास्तव में लंबाई ℓ की किसी जीवा का मध्यबिंदु है। बिंदुपथ पूरा संकेंद्री वृत्त है, उसका कोई अंश मात्र नहीं।

एक ही लंबाई की सभी जीवाएँ O से समान दूरी पर होती हैं, अत: उनके मध्यबिंदु एक संकेंद्री वृत्त बनाते हैं।

दो विशेष स्थितियाँ: यदि ℓ = 2r हो तो सभी जीवाएँ व्यास हैं और मध्यबिंदुओं का "वृत्त" सिमटकर केवल बिंदु O रह जाता है। यदि ℓ बहुत छोटा हो तो मध्यबिंदु दिए गए वृत्त के ही निकट आ जाते हैं।

प्र17.

केंद्र O वाले एक वृत्त में जीवाएँ AB और AC सर्वांगसम हैं। स्पष्ट कीजिए कि यह कथन सत्य क्यों है— “वृत्त का केंद्र ∠BAC के कोण समद्विभाजक पर स्थित है।”

उत्तर

दिया गया है: केंद्र O वाला वृत्त; जीवाएँ AB और AC, जिनमें AB = AC है। सिद्ध करना है: AO, ∠BAC को समद्विभाजित करता है।

ΔOAB और ΔOAC में —
AB = AC (दिया गया)
OB = OC = r (त्रिज्याएँ)
OA = OA (उभयनिष्ठ)
SSS सर्वांगसमता द्वारा ΔOAB ≅ ΔOAC
∴ ∠OAB = ∠OAC (संगत कोण)
अर्थात किरण AO, ∠BAC को दो समान भागों में बाँटती है — AO ही ∠BAC का समद्विभाजक है, अत: O उस पर स्थित है।

दूसरी दृष्टि। AB = AC समान जीवाएँ हैं, अत: वे O से समदूरस्थ हैं (प्रमेय 6)। किसी कोण के अंदर स्थित वह बिंदु जो दोनों भुजाओं से समदूरस्थ हो, उस कोण के समद्विभाजक पर होता है। अत: O, ∠BAC के समद्विभाजक पर स्थित है।

A से निकली समान जीवाएँ पूरी आकृति को रेखा AO के सापेक्ष सममित बना देती हैं — अत: AO ही ∠BAC को समद्विभाजित करता है।

दोनों उपपत्तियों के पीछे एक ही विचार: AB = AC होने से पूरा चित्र रेखा AO के सापेक्ष सममित हो जाता है। AO के सापेक्ष परावर्तन B और C को आपस में बदल देता है और वृत्त को स्वयं पर लाता है, अत: वह केंद्र को अपने स्थान पर रखता है — इसका अर्थ है कि O दर्पण रेखा पर ही होगा, और वही रेखा ∠BAC को समद्विभाजित करती है।

प्र18.

10 सेंटीमीटर और 24 सेंटीमीटर लंबाई की दो समांतर जीवाएँ वृत्त के केंद्र के एक ही ओर स्थित हैं। दोनों जीवाओं के मध्य की दूरी 7 सेंटीमीटर है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर

त्रिज्या = 13 सेंटीमीटर।

मान लीजिए केंद्र O से लंबी जीवा (24 सेंटीमीटर) की दूरी d है।
दोनों जीवाएँ एक ही ओर हैं और लंबी जीवा ही अधिक समीप होती है (प्रमेय 8),
अत: 10 सेंटीमीटर वाली जीवा की दूरी d + 7 होगी।

24 सेंटीमीटर वाली जीवा के लिए: r² = d² + 12² = d² + 144
10 सेंटीमीटर वाली जीवा के लिए: r² = (d + 7)² + 5² = d² + 14d + 49 + 25

दोनों बराबर रखने पर: d² + 144 = d² + 14d + 74
144 − 74 = 14d
70 = 14d ⇒ d = 5 सेंटीमीटर

r² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 ⇒ r = 13 सेंटीमीटर

केंद्र के एक ही ओर होने पर दोनों दूरियों का अंतर 7 है, योग नहीं।

स्वयं जाँचिए: 10 सेंटीमीटर वाली जीवा की दूरी = 5 + 7 = 12 सेंटीमीटर, और 12² + 5² = 144 + 25 = 169 = 13² ✓। दोनों जीवाएँ 13 सेंटीमीटर त्रिज्या वाले एक ही वृत्त में बैठ जाती हैं।

"एक ही ओर" से समीकरण क्यों बदल जाता है: दोनों जीवाएँ एक ही ओर हों तो O से खींचे गए दोनों लंब एक ही दिशा में जाते हैं, अत: उनके बीच का अंतराल दोनों दूरियों का अंतर होता है। यदि वे विपरीत ओर होतीं (जैसे प्रश्नावली 5.3 के प्रश्न 3 में) तो अंतराल दोनों दूरियों का योग होता।

प्र19.

त्रिज्या r के एक वृत्त के अंतर्गत एक समषट्भुज की रचना की गई है। षट्भुज की भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए और वृत्त के केंद्र से प्रत्येक भुजा की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर

भुजा = r, और प्रत्येक भुजा की केंद्र से दूरी = (√3/2) r।

छह शीर्ष वृत्त को छह समान चापों में बाँटते हैं, अत: प्रत्येक भुजा द्वारा अंतरित
केंद्रीय कोण = 360° ÷ 6 = 60°

भुजा: एक भुजा और केंद्र से बने त्रिभुज में दोनों त्रिज्याएँ समान हैं और उनके बीच का कोण 60° है।
अत: आधार के कोण (180° − 60°) ÷ 2 = 60° प्रत्येक — त्रिभुज समबाहु है।
∴ भुजा = r

केंद्र से दूरी: भुजा r लंबाई की एक जीवा है, अत:
d = √(r² − (r/2)²) = √(r² − r²/4) = √(3r²/4) = (√3/2) r ≈ 0.866 r

षट्भुज छह समबाहु त्रिभुजों से बनता है; केंद्र से भुजा की दूरी उन्हीं में से एक की ऊँचाई है।

क्या आप जानते हैं? इसीलिए परकार को त्रिज्या के बराबर खोलकर वृत्त पर छह बार निशान लगाने पर हम आरंभिक बिंदु पर ही लौट आते हैं — समषट्भुज की यही प्राचीन रचना है। षट्भुज की परिमाप 6r है, जो परिधि 2πr ≈ 6.28r से थोड़ी ही कम है।

प्र20.

किसी वृत्त के अंतर्गत एक चतुर्भुज MNOP की रचना की गई है। यदि MN वृत्त का व्यास है तो ∠MOP और ∠MNP के विषय में आप क्या कह सकते हैं? अपने तर्क को स्पष्ट कीजिए।

उत्तर

∠MOP = ∠MNP — ये समान हैं, क्योंकि दोनों जीवा MP पर एक ही वृत्तखंड में बने कोण हैं।

शीर्ष वृत्त पर M, N, O, P के क्रम में स्थित हैं।
जीवा MP पर विचार कीजिए। N और O दोनों MP से बने एक ही चाप पर हैं
(वह चाप जो M से P तक पहले N और फिर O से होकर जाता है)।

प्रमेय 9 से ∠MNP और ∠MOP दोनों उस दूसरे चाप MP द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण के आधे हैं।
∴ ∠MOP = ∠MNP

व्यास MN से और क्या मिलता है। चूँकि MN एक व्यास है, वह वृत्त के किसी भी अन्य बिंदु पर समकोण अंतरित करता है —

∠MON = 90° (अर्धवृत्त का कोण, O पर)
∠MPN = 90° (अर्धवृत्त का कोण, P पर)

संकेतन को ध्यान से पढ़िए: ∠MOP शीर्ष O पर OM और OP के बीच का कोण है — अर्थात भुजा MP द्वारा शीर्ष O पर अंतरित कोण; और ∠MNP उसी भुजा MP द्वारा शीर्ष N पर अंतरित कोण है। एक ही जीवा, उसकी एक ही ओर, अत: कोण भी एक ही। यही "एक ही वृत्तखंड के कोण" वाला गुण है, जो प्रमेय 9 का सबसे अधिक प्रयुक्त परिणाम है।

प्र21.

मान लीजिए, ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। स्पष्ट कीजिए कि किसी भी शीर्ष पर बहिष्कोण, सम्मुख अंत:कोण के समान क्यों है? (अर्थात ∠CDE = ∠ABC, जहाँ E, भुजा CD को आगे बढ़ाने पर प्राप्त रेखा पर कोई बिंदु है)।

उत्तर

किसी भी शीर्ष का बहिष्कोण सम्मुख शीर्ष के अंत:कोण के बराबर होता है। पूरा तर्क तीन पंक्तियों में —

भुजा AD को D से आगे बढ़ाकर बिंदु E लीजिए, ताकि A, D, E संरेखीय हों और ∠CDE, D पर बहिष्कोण हो।

∠ADC + ∠CDE = 180° (रेखीय युग्म — सरल रेखा ADE पर बने कोण)
∠ADC + ∠ABC = 180° (प्रमेय 11 — चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण)

दोनों की तुलना करने पर: ∠CDE = ∠ABC ∎

AD को E तक बढ़ाने पर D का बहिष्कोण ∠CDE, सम्मुख शीर्ष B के अंत:कोण ∠ABC के बराबर होता है।

यह प्रत्येक शीर्ष पर क्यों लागू होता है: तर्क में D की कोई विशेषता नहीं थी। किसी भी भुजा को आगे बढ़ाइए, वहाँ बहिष्कोण लीजिए — वही दो तथ्य (रेखीय युग्म तथा सम्मुख कोणों का संपूरक होना) सम्मुख अंत:कोण के साथ समानता दे देंगे। जैसे BC को C से आगे बढ़ाकर F लेने पर ∠DCF = ∠DAB मिलेगा।

नामकरण पर ध्यान: ∠CDE के बहिष्कोण होने के लिए E को AD को आगे बढ़ाकर D के परे लेना होगा, ताकि ∠ADC और ∠CDE मिलकर ऋजु कोण बनाएँ। (यदि E को CD आगे बढ़ाकर लिया जाए तो "कोण CDE" स्वयं 180° का ऋजु कोण ही हो जाएगा।)

प्र22.

“वृत्त की ऐसी कोई जीवा नहीं है जो उसके व्यास से बड़ी हो।” आप इस कथन को कैसे सिद्ध करेंगे?

उत्तर

पहली विधि — जीवा के सूत्र से।

केंद्र से d दूरी पर स्थित किसी भी जीवा की लंबाई
जीवा = 2√(r² − d²), जहाँ 0 ≤ d < r

d² ≥ 0 है, अत: r² − d² ≤ r², अर्थात √(r² − d²) ≤ r
∴ जीवा ≤ 2r = व्यास
समता केवल d = 0 पर मिलती है, अर्थात जब जीवा केंद्र से होकर जाए — तब वह जीवा व्यास ही है।

दूसरी विधि — त्रिभुज असमिका से। मान लीजिए जीवा AB केंद्र O से होकर नहीं जाती। तब A, O, B एक वास्तविक त्रिभुज बनाते हैं और

AB < OA + OB = r + r = 2r
यदि AB, O से होकर जाती है तो AB = OA + OB = 2r ठीक-ठीक।

यह वास्तव में क्या कहता है: व्यास ही वह एकमात्र जीवा है जिसमें केंद्र से होकर जाने का "चक्कर" कोई चक्कर रह ही नहीं जाता। शेष प्रत्येक जीवा त्रिभुज AOB का छोटा रास्ता है और त्रिभुज की एक भुजा शेष दो के योग से सदैव छोटी होती है। यह प्रमेय 8 से भी मेल खाता है — व्यास केंद्र से 0 दूरी पर है, जो न्यूनतम संभव है, अत: वही सबसे लंबी जीवा होगी।

प्र23.

मान लीजिए, A किसी दिए गए वृत्त के अंदर स्थित कोई भी बिंदु है। वृत्त का केंद्र O है। प्रदर्शित कीजिए कि A से होकर जाने वाली वृत्त की सबसे छोटी जीवा, वह जीवा होगी जो OA के लंबवत है।

उत्तर

दिया गया है: केंद्र O वाले वृत्त के अंदर एक बिंदु A (A ≠ O)। सिद्ध करना है: A से होकर जाने वाली सभी जीवाओं में सबसे छोटी वही है जो OA पर लंब है।

चरण 1 — जीवा की लंबाई केवल केंद्र से दूरी पर निर्भर है। केंद्र से d दूरी पर स्थित जीवा की लंबाई 2√(r² − d²) है, जो d बढ़ने पर घटती है। अत: सबसे छोटी जीवा वही होगी जिसकी O से दूरी सबसे अधिक हो।

चरण 2 — वह दूरी अधिक से अधिक कितनी हो सकती है? मान लीजिए PQ, A से होकर जाने वाली कोई जीवा है और M, O से PQ पर खींचे गए लंब का पाद है, अत: दूरी OM है।

यदि M ≠ A हो तो ΔOMA, M पर समकोण है और OA उसका कर्ण है।
समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे बड़ी भुजा होती है, अत:
OM < OA

यदि M = A हो — जो ठीक तभी होता है जब OA ⊥ PQ — तो
OM = OA, जो अधिकतम संभव मान है।

अधिकतम दूरी = OA ⇒ सबसे छोटी जीवा = 2√(r² − OA²)
और यह ठीक उसी जीवा के लिए है जो A से होकर OA पर लंब है।

A से होकर जाने वाली हर दूसरी जीवा लंब वाली जीवा की अपेक्षा केंद्र के अधिक समीप है, अत: वह लंबी है।

दूसरा छोर: A से होकर जाने वाली सबसे लंबी जीवा वही है जो रेखा OA के अनुदिश हो — वह व्यास है, केंद्र से 0 दूरी पर, लंबाई 2r।

प्र24.

अर्धवृत्त का कोण 90° होता है। आप दिए गए चित्र (चित्र 5.30) का उपयोग इस कथन को सत्यापित करने के लिए किस प्रकार करेंगे?

उत्तर

चित्र 5.30 में एक व्यास पर बना अर्धवृत्त है, जिसका केंद्र O है, चाप पर एक बिंदु A है और व्यास के दोनों सिरों पर बने कोण a और b अंकित हैं। चिह्न यही बताते हैं कि व्यास के दोनों आधे भाग और रेखाखंड OA — तीनों समान हैं, क्योंकि तीनों त्रिज्याएँ हैं।

मान लीजिए व्यास के सिरे P और Q हैं, अत: PO = OQ = OA = r। रेखाखंड OA बड़े त्रिभुज PAQ को दो समद्विबाहु त्रिभुजों में बाँट देता है।

ΔOPA में: OP = OA ⇒ ∠OAP = ∠OPA = a
ΔOQA में: OQ = OA ⇒ ∠OAQ = ∠OQA = b

बड़े त्रिभुज में A पर बना कोण ∠PAQ = ∠OAP + ∠OAQ = a + b

ΔPAQ के कोणों का योग:
a + b + (a + b) = 180°
2(a + b) = 180°
a + b = 90°

∴ ∠PAQ = a + b = 90°

OA एक त्रिज्या है, अत: वह ΔPAQ को दो समद्विबाहु त्रिभुजों में बाँट देती है; A पर बना कोण a + b होता है और उसे 180° का आधा होना ही पड़ता है।

चित्र ऐसा क्यों बनाया गया है: केवल एक अतिरिक्त रेखाखंड OA ही पूरी उपपत्ति चला देता है। उसके बिना कहीं पकड़ नहीं बनती; उसके साथ दोनों छोटे त्रिभुजों की दो-दो भुजाएँ त्रिज्याएँ हो जाती हैं, अत: उनके आधार के कोण समान हो जाते हैं — और A पर बना कोण ठीक शेष दोनों कोणों के योग के बराबर निकलता है, जिससे वह 180° का आधा होने को विवश हो जाता है।

संकेत: यह प्रमेय 9 के उपप्रमेय को सामान्य प्रमेय का उपयोग किए बिना, आरंभ से सिद्ध करना है — परीक्षा में यह क्षमता बहुत काम आती है।

प्र25.

किसी वृत्त में दो जीवाएँ CC' और DD', व्यास AB के लंबवत बनाई गई हैं। सिद्ध कीजिए कि जीवाओं CD और C' D' के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड MM', AB के लंबवत है।

उत्तर

दिया गया है: व्यास AB वाला वृत्त; जीवाएँ CC′ ⊥ AB और DD′ ⊥ AB। M, CD का मध्यबिंदु है और M′, C′D′ का। सिद्ध करना है: MM′ ⊥ AB।

चरण 1 — AB पूरी आकृति के लिए दर्पण रेखा है। व्यास वृत्त की परावर्तन सममिति की रेखा होती है। जीवा CC′ व्यास AB पर लंब है, अत: प्रमेय 5 से व्यास उसे समद्विभाजित करता है। इस प्रकार C′, C का AB के सापेक्ष प्रतिबिंब है। इसी कारण D′, D का AB के सापेक्ष प्रतिबिंब है।

चरण 2 — दोनों मध्यबिंदु भी परस्पर प्रतिबिंब हैं। परावर्तन एक दृढ़ रूपांतरण है, अत: वह रेखाखंड CD को रेखाखंड C′D′ पर और CD के मध्यबिंदु को C′D′ के मध्यबिंदु पर ले जाता है। इसलिए M′, M का AB के सापेक्ष प्रतिबिंब है। किंतु किसी बिंदु को उसके दर्पण-प्रतिबिंब से मिलाने वाला रेखाखंड दर्पण रेखा पर सदैव लंब होता है। अत: MM′ ⊥ AB।

यही उपपत्ति निर्देशांकों में। AB को x-अक्ष और केंद्र को मूल बिंदु मान लीजिए।

CC′ ⊥ AB है और AB उसे समद्विभाजित करता है, अत: यदि C = (p, q) हो तो C′ = (p, −q)
इसी प्रकार यदि D = (s, t) हो तो D′ = (s, −t)

M = CD का मध्यबिंदु = ( (p + s)/2 , (q + t)/2 )
M′ = C′D′ का मध्यबिंदु = ( (p + s)/2 , −(q + t)/2 )

दोनों बिंदुओं का x-निर्देशांक समान है, अत: MM′ एक ऊर्ध्वाधर रेखाखंड है,
और AB, x-अक्ष के अनुदिश है। ∴ MM′ ⊥ AB

विशेष स्थिति: यदि q + t = 0 हो तो M और M′ AB पर ही संपाती हो जाते हैं और कोई रेखाखंड बनता ही नहीं — कथन तब अर्थहीन है। शेष प्रत्येक स्थिति में उपर्युक्त तर्क लागू होता है।

यहाँ सममिति गणना से बेहतर क्यों है: निर्देशांक वाली विधि छोटी है, किंतु परावर्तन वाला तर्क बताता है कि परिणाम सत्य क्यों है — पूरा चित्र AB के सापेक्ष सममित है, अत: एक ओर C और D से बनी कोई भी रचना दूसरी ओर C′ और D′ से बनी अपनी दर्पण-प्रति रखती है। मध्यबिंदु भी ऐसी ही रचना है, अत: वह भी यह सममिति विरासत में पा लेता है।

प्र26.

किसी भी चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योगफल 180° होता है। आप नीचे दिए गए चित्र (चित्र 5.31) का उपयोग इस कथन को सत्यापित करने में किस प्रकार करेंगे?

उत्तर

चित्र 5.31 में चक्रीय चतुर्भुज ABCD है और केंद्र O चारों शीर्षों से मिला हुआ है। चिह्न बताते हैं कि OA, OB, OC, OD सभी त्रिज्याएँ हैं, अत: चारों त्रिभुज OAB, OBC, OCD, ODA समद्विबाहु हैं। आधार के चार कोण अंकित हैं — A पर p, B पर q, C पर u और D पर v।

समद्विबाहु ΔOAB (OA = OB) ⇒ ∠OBA = ∠OAB = p
समद्विबाहु ΔOBC (OB = OC) ⇒ ∠OCB = ∠OBC = q
समद्विबाहु ΔOCD (OC = OD) ⇒ ∠ODC = ∠OCD = u
समद्विबाहु ΔODA (OD = OA) ⇒ ∠OAD = ∠ODA = v

अब चतुर्भुज के चारों कोण पढ़िए — प्रत्येक कोण त्रिज्या द्वारा इन्हीं में से दो भागों में बँटा है —

∠A = ∠OAB + ∠OAD = p + v
∠B = ∠OBA + ∠OBC = p + q
∠C = ∠OCB + ∠OCD = q + u
∠D = ∠ODC + ∠ODA = u + v

चतुर्भुज के कोणों का योग:
(p + v) + (p + q) + (q + u) + (u + v) = 360°
2(p + q + u + v) = 360°
p + q + u + v = 180°

अत:
∠A + ∠C = (p + v) + (q + u) = 180°
∠B + ∠D = (p + q) + (u + v) = 180°

चारों त्रिज्याएँ चक्रीय चतुर्भुज को चार समद्विबाहु त्रिभुजों में बाँटती हैं; प्रत्येक शीर्ष कोण आधार के दो कोणों का योग है और प्रत्येक आधार कोण ठीक दो बार गिना जाता है।

दोगुना गिनना ही पूरी युक्ति है: p, q, u, v में से प्रत्येक चारों शीर्ष कोणों में से ठीक दो में आता है। अत: 360° के योग में p + q + u + v दो बार गिना जाता है, जिससे वह योग 180° होना ही पड़ता है। अब इन चार अक्षरों को सम्मुख युग्मों में बाँटिए तो प्रत्येक युग्म का योग 180° मिल जाता है। यह प्रमेय 11 की ऐसी उपपत्ति है जिसमें चाप का उल्लेख तक नहीं आता — केवल त्रिज्याएँ और चतुर्भुज के कोणों का योग।

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