प्र1.
प्रश्न — एक चक्रीय चतुर्भुज के कोणों की माप ∠A = 80°, ∠B = 110°, ∠C = 100° तथा ∠D = 70° है। क्या ऐसे चतुर्भुज की रचना की जा सकती है? स्पष्ट कीजिए कि क्यों या क्यों नहीं।
उत्तर
हाँ, ऐसे चतुर्भुज की रचना की जा सकती है। दोनों जाँचें पूरी होती हैं।
जाँच 1 — चतुर्भुज के कोणों का योग:
80° + 110° + 100° + 70° = 360° ✓
जाँच 2 — चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण:
∠A + ∠C = 80° + 100° = 180° ✓
∠B + ∠D = 110° + 70° = 180° ✓
80° + 110° + 100° + 70° = 360° ✓
जाँच 2 — चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण:
∠A + ∠C = 80° + 100° = 180° ✓
∠B + ∠D = 110° + 70° = 180° ✓
सम्मुख कोणों के दोनों युग्मों का योग 180° है, अत: प्रमेय 12 के अनुसार चारों शीर्ष अवश्य ही एक वृत्त पर स्थित होंगे। ऐसा चक्रीय चतुर्भुज विद्यमान है।
निर्णायक जाँच दूसरी ही क्यों है: प्रत्येक चतुर्भुज के कोणों का योग 360° होता ही है, चक्रीय हो या न हो — अत: केवल जाँच 1 से वृत्त के विषय में कुछ सिद्ध नहीं होता। असली काम प्रमेय 12 करती है — सम्मुख कोण संपूरक ⇒ संवृत्तीय। यह भी ध्यान दीजिए कि एक बार ∠A + ∠C = 180° हो जाने पर ∠B + ∠D = 360° − 180° = 180° स्वत: मिल जाता है; दोनों प्रतिबंध स्वतंत्र नहीं हैं।
यह भी कीजिए: ∠C को 95° कर दीजिए और योग 360° बनाए रखने के लिए ∠D = 75° लीजिए। अब ∠A + ∠C = 175° ≠ 180° है, अत: इन कोणों वाला चतुर्भुज तो बनेगा — किंतु उसके चारों शीर्षों से होकर कोई वृत्त नहीं जा सकता।