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कक्षा ९ गणित अध्याय 6 प्रश्नावली 6.2 के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-08

प्र1.
आकृति 6.31 में त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (ABCD एक आयत है जिसमें AB = 10 सेंटीमीटर और BC = 8 सेंटीमीटर है; A ऊपर-बाएँ, B ऊपर-दाएँ, C नीचे-दाएँ तथा D नीचे-बाएँ शीर्ष है; E भुजा BC पर स्थित एक बिंदु है।)
उत्तर

क्षेत्रफल = 40 वर्ग सेंटीमीटर — और BC पर E की स्थिति से कोई अंतर नहीं पड़ता।

ΔADE का आधार AD लीजिए।
AD = BC = 8 से.मी. (आयत की सम्मुख भुजाएँ)

ऊँचाई E से रेखा AD की लंब दूरी है।
E, BC पर है और BC ∥ AD, अतः वह दूरी आयत की चौड़ाई है —
ऊँचाई = AB = 10 से.मी.

ar(ΔADE) = ½ × आधार × ऊँचाई
= ½ × 8 × 10
= 40 वर्ग सेंटीमीटर
A B C D E 10 से.मी. 8 ऊँचाई 10 से.मी.
AD आधार है; BC का प्रत्येक बिंदु रेखा AD से 10 से.मी. दूर है, अतः E को BC पर ऊपर-नीचे सरकाने से क्षेत्रफल नहीं बदलता।
ऐसा क्यों होता है: त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके आधार और उस आधार की रेखा से शीर्ष की लंब दूरी पर निर्भर करता है — इस पर नहीं कि शीर्ष उस समांतर रेखा पर कहाँ बैठा है। चूँकि BC ∥ AD है, E का हर चयन वही ऊँचाई देता है, अतः ΔADE सदा आयत का ठीक आधा रहता है: ½ × 80 = 40 वर्ग सेंटीमीटर। यही "समान आधार, समान समांतर रेखाओं के मध्य" सिद्धांत नीचे प्र.6, प्र.7, प्र.9 और प्र.11 में भी काम आता है।
प्र2.
एक समलंब चतुर्भुज की समांतर भुजाएँ 40 सेंटीमीटर और 20 सेंटीमीटर हैं। यदि इसकी दोनों असमांतर भुजाएँ समान हों और प्रत्येक 26 सेंटीमीटर हो तो समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर

क्षेत्रफल = 720 वर्ग सेंटीमीटर।

समलंब चतुर्भुज समद्विबाहु है, अतः यह समांतर भुजाओं के लंब समद्विभाजक के सापेक्ष सममित है। छोटी भुजा के दोनों सिरों से बड़ी भुजा पर लंब डालिए। बीच में 20 सेंटीमीटर चौड़ा आयत और दोनों सिरों पर दो सर्वांगसम समकोण त्रिभुज बचते हैं।

प्रत्येक सिरे के त्रिभुज का आधार = 40 − 20⁄2 = 10 से.मी.
प्रत्येक सिरे के त्रिभुज का कर्ण = 26 से.मी.

बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय से:
h² = 26² − 10² = 676 − 100 = 576
h = √576 = 24 से.मी.

क्षेत्रफल = ½ (समांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई
= ½ (40 + 20) × 24
= ½ × 60 × 24
= 720 वर्ग सेंटीमीटर
20 से.मी. 40 से.मी. 24 10 26
सिरों के दोनों 10–24–26 समकोण त्रिभुज ऊँचाई तुरंत दे देते हैं।
स्वयं जाँचिए: 10, 24, 26 वस्तुतः 5, 12, 13 त्रिक का दोगुना है — पहचान लेने पर वर्गमूल निकालने की आवश्यकता ही नहीं रहती।
प्र3.
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी भुजाओं की लंबाई 8 सेंटीमीटर और 11 सेंटीमीटर है तथा उसका परिमाप 32 सेंटीमीटर है।
उत्तर

क्षेत्रफल = 8√30 ≈ 43.82 वर्ग सेंटीमीटर। ऊँचाई नहीं दी है, अतः यह हीरोन के सूत्र का प्रश्न है।

तीसरी भुजा = 32 − (8 + 11) = 13 से.मी.
s = ½ × 32 = 16 से.मी.

s − a = 16 − 8 = 8
s − b = 16 − 11 = 5
s − c = 16 − 13 = 3

क्षेत्रफल = √(s(s−a)(s−b)(s−c))
= √(16 × 8 × 5 × 3)
= √1920
= √(64 × 30)
= 8√30
= 8 × 5.477…
= 43.82 वर्ग सेंटीमीटर (2 दशमलव स्थान)
ऐसा क्यों होता है: जब तीनों भुजाएँ ज्ञात हों किंतु कोई ऊँचाई नहीं, तब हीरोन का सूत्र ही उपयुक्त औज़ार है। यहाँ ऊँचाई निकालनी हो तो पहले उसे हल करना पड़ेगा — और उत्तर 8√30 अपरिमेय है, अतः ऊँचाई भी सुंदर नहीं आएगी। यह भी ध्यान दीजिए कि परिमाप ही तीसरी भुजा बता देता है; त्रिभुज बनाने की आवश्यकता नहीं पड़ती।
संकेत: करणी को सदा सरल कीजिए — √1920 = √(64 × 30) = 8√30। √1920 छोड़ देना सही तो है, पर अधूरा है।
प्र4.
एक त्रिभुजाकार भूखंड की भुजाओं का अनुपात 3:5:7 है और इसका परिमाप 300 मीटर है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर

क्षेत्रफल = 1500√3 ≈ 2598.08 वर्ग मीटर।

मान लीजिए भुजाएँ 3k, 5k, 7k हैं।
3k + 5k + 7k = 300
15k = 300 ⟹ k = 20
भुजाएँ = 60 मी., 100 मी., 140 मी.

s = ½ × 300 = 150 मी.
s − a = 150 − 60 = 90
s − b = 150 − 100 = 50
s − c = 150 − 140 = 10

क्षेत्रफल = √(150 × 90 × 50 × 10)
= √67,50,000
= √(22,50,000 × 3)
= 1500√3
= 1500 × 1.7320…
= 2598.08 वर्ग मीटर (2 दशमलव स्थान)
ऐसा क्यों होता है: अनुपात भुजाएँ तय नहीं करता, केवल आकार तय करता है; परिमाप माप तय करता है। k ज्ञात होते ही त्रिभुज पूरी तरह निर्धारित हो जाता है, क्योंकि तीन भुजाएँ त्रिभुज को दृढ़ता से तय कर देती हैं। जाँचिए कि ये सचमुच त्रिभुज बनाती हैं: 60 + 100 = 160 > 140 ✓ — 3 : 5 : 8 होता तो 60 + 100 = 160 = 160 मिलता, अर्थात शून्य क्षेत्रफल वाला चपटा "त्रिभुज", और हीरोन का सूत्र 0 लौटाता।
संकेत: वर्गमूल लेने से पहले गुणनखंड कीजिए। 150 × 90 × 50 × 10 = (15 × 9 × 5 × 1) × 10⁴ = 675 × 10⁴, और √675 = 15√3, अतः क्षेत्रफल = 15√3 × 100 = 1500√3।
प्र5.
एक समचतुर्भुज के एक विकर्ण की लंबाई दूसरे विकर्ण की लंबाई से दोगुनी है। यदि समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 128 वर्ग सेंटीमीटर है तो इसके छोटे विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।
उत्तर

छोटा विकर्ण = 8√2 ≈ 11.31 सेंटीमीटर।

समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित होते हैं,
अतः क्षेत्रफल = ½ d₁ d₂।

छोटा विकर्ण d और बड़ा 2d लीजिए।
½ × d × 2d = 128
d² = 128
d = √128 = √(64 × 2) = 8√2 ≈ 11.31 सेंटीमीटर

(बड़ा विकर्ण 16√2 ≈ 22.63 सेंटीमीटर है।)
ऐसा क्यों होता है: दोनों विकर्ण समचतुर्भुज को चार सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में काटते हैं, जिनकी भुजाएँ d/2 और d₂/2 हैं। चारों का योग 4 × ½ × d⁄2 × d₂⁄2 = ½ d d₂ है। यह परिणाम ऐसे हर चतुर्भुज पर लागू होता है जिसके विकर्ण परस्पर लंब हों — जैसे पतंग, जो अंतिम प्रश्नावली का प्र.14 है।
स्वयं जाँचिए: 8√2 × 16√2 = 128 × 2 = 256, और 256 का आधा 128 ✓
प्र6.
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। P और Q भुजा AB पर स्थित कोई दो बिंदु हैं तो ΔPCD और ΔQCD के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर

दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल का आधा होता है, अर्थात दोनों समान हैं — उनका अनुपात 1 : 1 है, चाहे P और Q, AB पर कहीं भी हों।

दोनों त्रिभुजों का आधार CD एक ही है।
दोनों के शीर्ष P और Q, AB पर हैं और AB ∥ CD है।
∴ दोनों की ऊँचाई h समान है, जो AB और CD के मध्य की दूरी है।

ar(ΔPCD) = ½ · CD · h
ar(ΔQCD) = ½ · CD · h

ar(ΔPCD) : ar(ΔQCD) = 1 : 1

तथा ar(समांतर चतुर्भुज ABCD) = CD × h
∴ ar(ΔPCD) = ar(ΔQCD) = ½ ar(ABCD)
ऐसा क्यों होता है: यह "समान आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के मध्य बने त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान होते हैं" वाला सिद्धांत है। शीर्ष को आधार के समांतर रेखा पर सरकाना कतरन है, और कतरन त्रिभुज का आकार बदलती है, ऊँचाई नहीं — अतः क्षेत्रफल भी नहीं। ΔPCD और ΔQCD प्रायः सर्वांगसम नहीं होते — एक समकोण और दूसरा अधिककोण भी हो सकता है — फिर भी क्षेत्रफल समान रहते हैं।
प्र7.
समांतर चतुर्भुज PQRS के विकर्ण PR पर स्थित कोई O बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि PSO और PQO त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हैं।
उत्तर

उपपत्ति। मान लीजिए समांतर चतुर्भुज के विकर्ण PR और QS बिंदु M पर मिलते हैं।

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित होते हैं,
अतः M, QS का मध्यबिंदु है और M रेखा PR पर है।

Q और S से रेखा PR पर लंब QX और SY डालिए।
ΔQXM और ΔSYM में:
QM = SM (M, QS का मध्यबिंदु है)
∠QXM = ∠SYM = 90°
∠QMX = ∠SMY (शीर्षाभिमुख कोण)
∴ ΔQXM ≅ ΔSYM (AAS)
∴ QX = SY

अब ΔPQO और ΔPSO का उभयनिष्ठ आधार PO है, जो PR पर स्थित है।
उनकी ऊँचाइयाँ ठीक QX और SY हैं, जो समान हैं।

ar(ΔPQO) = ½ · PO · QX = ½ · PO · SY = ar(ΔPSO) ∎
P Q R S O M
Q और S, विकर्ण PR से समान लंब दूरी पर हैं, अतः PO पर बना त्रिभुज चाहे Q शीर्ष से हो या S शीर्ष से, क्षेत्रफल वही रहता है।
ऐसा क्यों होता है: विकर्ण PR समांतर चतुर्भुज की "संतुलन रेखा" है — Q और S, M के परितः एक-दूसरे के प्रतिबिंब हैं, अतः PR से विपरीत दिशाओं में समान दूरी पर हैं। यह सिद्ध होते ही दोनों त्रिभुजों का आधार PO और ऊँचाई दोनों समान हो जाते हैं — और यह PR पर O की हर स्थिति के लिए सत्य है, O = P (दोनों क्षेत्रफल 0) और O = R (प्रत्येक समांतर चतुर्भुज का आधा) सहित।
प्र8.
यदि एक चतुर्भुज की भुजाओं के मध्यबिंदु को क्रम से जोड़ा जाए तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दिए गए चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होगा। (आप सोच रहे होंगे कि क्या इस प्रकार बना चतुर्भुज हमेशा समांतर चतुर्भुज ही होता है। यदि हाँ, तो क्यों? इस प्रकार के प्रश्नों के उत्तर चतुर्भुज वाले अध्याय में मिलेंगे।)
उत्तर

मान लीजिए ABCD दिया गया चतुर्भुज है और P, Q, R, S क्रमशः AB, BC, CD, DA के मध्यबिंदु हैं। विकर्ण AC खींचिए।

पहले, PQRS वास्तव में समांतर चतुर्भुज है।

ΔABC में P और Q क्रमशः AB और BC के मध्यबिंदु हैं
⟹ PQ ∥ AC और PQ = ½AC (मध्यबिंदु प्रमेय)
ΔACD में S और R क्रमशः DA और CD के मध्यबिंदु हैं
⟹ SR ∥ AC और SR = ½AC

∴ PQ ∥ SR और PQ = SR ⟹ PQRS समांतर चतुर्भुज है

अब क्षेत्रफल। चार कोनों के त्रिभुज कट जाते हैं। प्रत्येक अपने बड़े त्रिभुज के समरूप है और अनुपात ½ है, अतः प्रत्येक का क्षेत्रफल उसका एक-चौथाई है।

ΔBPQ: BP = ½BA, BQ = ½BC, कोण B उभयनिष्ठ
∴ ar(ΔBPQ) = ¼ ar(ΔABC)
इसी प्रकार ar(ΔDSR) = ¼ ar(ΔACD)

ar(ΔBPQ) + ar(ΔDSR) = ¼[ar(ΔABC) + ar(ΔACD)] = ¼ ar(ABCD)

दूसरा विकर्ण BD खींचिए:
ar(ΔAPS) = ¼ ar(ΔABD), ar(ΔCQR) = ¼ ar(ΔBCD)
ar(ΔAPS) + ar(ΔCQR) = ¼[ar(ΔABD) + ar(ΔBCD)] = ¼ ar(ABCD)

कुल कटा हुआ भाग = ¼ + ¼ = ar(ABCD) का ½

ar(PQRS) = ar(ABCD) − ½ ar(ABCD) = ½ ar(ABCD) ∎
A B C D P Q R S
कोनों के चारों त्रिभुज मिलकर ठीक चतुर्भुज का आधा भाग बनाते हैं, अतः मध्यबिंदु-समांतर चतुर्भुज शेष आधा है।
ऐसा क्यों होता है: मध्यबिंदु प्रमेय दो बार पूरा काम कर देती है — एक बार प्रत्येक विकर्ण के साथ। किसी कोण की दोनों भुजाओं को आधा करने पर घिरा त्रिभुज हर दिशा में ½ गुना हो जाता है और क्षेत्रफल लंबाई-गुणक के वर्ग से मापित होता है, अतः ¼। यह परिणाम प्रत्येक चतुर्भुज के लिए सत्य है, उत्तल हो या न हो, और उसकी आकृति पर निर्भर नहीं करता — इसीलिए उत्तर सदा ठीक आधा आता है।
प्र9.
ΔABC में BC का मध्यबिंदु D है (चित्र 6.32)। माध्यिका AD खींची गई है। बिंदु P रेखाखंड AD पर स्थित कोई बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि ΔABP का क्षेत्रफल ΔACP के क्षेत्रफल के समान है।
उत्तर

माध्यिका प्रमेय दो बार लगाइए — एक बार ΔABC पर और एक बार ΔPBC पर — और घटा दीजिए।

AD, ΔABC की माध्यिका है (D, BC का मध्यबिंदु है):
ar(ΔABD) = ar(ΔACD) … (1)

P, AD पर है, अतः PD, ΔPBC की माध्यिका है (मध्यबिंदु वही D):
ar(ΔPBD) = ar(ΔPCD) … (2)

(1) में से (2) घटाइए:
ar(ΔABD) − ar(ΔPBD) = ar(ΔACD) − ar(ΔPCD)

चूँकि P, AD पर है, ΔABD, ΔABP और ΔPBD में बँटता है; दूसरी ओर भी वैसा ही।
∴ ar(ΔABP) = ar(ΔACP) ∎
ऐसा क्यों होता है: प्रमेय के दोनों प्रयोग एक ही तथ्य पर टिके हैं — समान आधार BD = DC और उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान होते हैं, क्योंकि उस शीर्ष से रेखा BC तक की ऊँचाई एक ही है। पहले शीर्ष A है, फिर P। पहली जोड़ी में से दूसरी जोड़ी घटाने पर तीसरी समान जोड़ी बचती है। AD पर P कहाँ है, इसका कहीं उपयोग नहीं हुआ, अतः परिणाम P = A (दोनों 0) और P = D (प्रत्येक त्रिभुज का आधा) पर भी सत्य है।
संकेत: "समान में से समान घटाने पर समान बचता है" वाली यही युक्ति इस अध्याय में क्षेत्रफल के परिणाम सिद्ध करने की मानक विधि है। प्र.11 में इसे फिर पहचानिए।
प्र10.
एक वर्ग ABCD दिया गया है, माना कि P इसके अंदर एक बिंदु है। PA, PB, PC और PD को मिलाइए (चित्र 6.33)। लाल रंग के क्षेत्र (ΔPAB और ΔPCD) तथा हरे रंग के क्षेत्र (ΔPBC और ΔPDA) के क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?
उत्तर

अनुपात 1 : 1 है — P वर्ग के भीतर कहीं भी हो, प्रत्येक जोड़ी ठीक वर्ग का आधा घेरती है।

वर्ग की भुजा a मान लीजिए।
P से AB की दूरी h₁ और सम्मुख भुजा CD की दूरी h₂ लीजिए।
चूँकि AB ∥ CD और उनके बीच की दूरी a है: h₁ + h₂ = a।

ar(ΔPAB) + ar(ΔPCD)
= ½ a h₁ + ½ a h₂
= ½ a (h₁ + h₂)
= ½ a · a
= ½ a²

BC और DA की दूरियों के साथ ठीक वही तर्क:
ar(ΔPBC) + ar(ΔPDA) = ½ a²

अनुपात = ½a² : ½a² = 1 : 1
P A D C B
दोनों हरे त्रिभुज सम्मुख भुजाओं AD और BC पर खड़े हैं; उनकी ऊँचाइयाँ जुड़कर पूरी भुजा बनाती हैं, अतः वे मिलकर वर्ग का आधा घेरते हैं। लाल जोड़ी भी वैसी ही।
ऐसा क्यों होता है: युक्ति यह है कि जोड़ी के दोनों त्रिभुजों को गणना से पहले जोड़ लिया जाए। अलग-अलग प्रत्येक क्षेत्रफल P की स्थिति पर निर्भर है; साथ मिलाने पर उनकी ऊँचाइयाँ अनिवार्यतः वर्ग की भुजा जितनी हो जाती हैं और P पर निर्भरता समाप्त हो जाती है। ध्यान दीजिए कि प्रयोग बहुत कम बातों का हुआ — केवल इतना कि AB और CD समान, समांतर और a दूरी पर हैं। अतः यही परिणाम किसी भी समांतर चतुर्भुज और आयत में भी सत्य है।
प्र11.
ΔABC में D भुजा AB का मध्यबिंदु है। P भुजा BC पर स्थित कोई बिंदु है और Q भुजा AB पर स्थित एक बिंदु है, जहाँ CQ || PD है। PQ को मिलाया गया है (चित्र 6.34)। सिद्ध कीजिए कि क्षेत्रफल (ΔBPQ) = ½ क्षेत्रफल (ΔABC) है।
उत्तर

योजना — पहले ar(ΔBPQ) = ar(ΔBCD) दिखाइए, फिर ध्यान दीजिए कि CD माध्यिका है।

D, AB का मध्यबिंदु है, अतः CD, ΔABC की माध्यिका है।
∴ ar(ΔBCD) = ½ ar(ΔABC) … (1)

अब ΔBPQ की तुलना ΔBCD से कीजिए। रेखा AB पर बिंदुओं का क्रम B, D, Q, A है,
और P, BC पर है। अतः
ar(ΔBPQ) = ar(ΔBPD) + ar(ΔDPQ)
ar(ΔBCD) = ar(ΔBPD) + ar(ΔPCD)

अतः केवल ar(ΔDPQ) = ar(ΔPCD) दिखाना शेष है।

ΔDPQ और ΔDPC का आधार DP उभयनिष्ठ है।
उनके शीर्ष Q और C रेखा CQ पर हैं, और CQ ∥ PD है।
∴ Q और C रेखा DP से समान लंब दूरी पर हैं।
∴ ar(ΔDPQ) = ar(ΔPCD) … (2)

(2) से: ar(ΔBPQ) = ar(ΔBCD)
(1) के साथ: ar(ΔBPQ) = ½ ar(ΔABC) ∎
ऐसा क्यों होता है: शर्त CQ ∥ PD केवल एक काम करती है — वह C और Q को आधार DP के समांतर एक रेखा पर रख देती है, जिससे C को Q तक सरकाने वाली कतरन क्षेत्रफल अछूता छोड़ देती है। यही "समान आधार, समान समांतर रेखाओं के मध्य" वाला औज़ार प्र.6 और प्र.7 में भी लगा था। आश्चर्य निष्कर्ष में है — P, BC पर कहीं भी हो और Q उसी के अनुसार सरके, फिर भी ΔBPQ सदा त्रिभुज का ठीक आधा घेरता है।
स्वयं जाँचिए: P = C लीजिए। तब PD = CD, और CQ ∥ CD होने से Q = D हो जाता है, अतः ΔBPQ, ΔBCD बन जाता है — त्रिभुज का आधा, जैसा कहा गया था।
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