प्र1.
किसी दिए गए त्रिभुज से वर्ग बनाने के लिए आप किस प्रक्रिया का उपयोग करेंगे? यहाँ पर आपको एक ऐसा वर्ग बनाना है जिसका क्षेत्रफल किसी दिए गए त्रिभुज के क्षेत्रफल के समान हो। ध्यानपूर्वक विचार कीजिए कि आप इसे कैसे करेंगे।
उत्तर
दो चरणों में कीजिए — त्रिभुज → आयत → वर्ग। दूसरा चरण बौधायन की रचना है, जो अनुभाग अभी-अभी दे चुका है; नया केवल पहला चरण है और वह सरल है।
चरण 1 — त्रिभुज को उसी क्षेत्रफल के आयत में बदलिए।
- ΔABC में BC को आधार लीजिए, लंबाई b, और A से ऊँचाई h।
- AB का मध्यबिंदु M और AC का मध्यबिंदु N अंकित करके MN खींचिए। मध्यबिंदु प्रमेय से MN ∥ BC और MN = ½b, तथा MN की ऊँचाई h/2 है।
- M और N से BC पर लंब डालिए। त्रिभुज अब तीन भागों में बँट गया — बीच का आयत और दो समकोण त्रिभुज, जो मुड़कर रिक्तियों में बैठ जाते हैं। परिणाम b आधार और h/2 ऊँचाई वाला आयत है।
आयत का क्षेत्रफल = b × h⁄2 = ½bh = त्रिभुज का क्षेत्रफल ✓
चरण 2 — आयत का वर्गीकरण। इस आयत पर चित्र 6.30 वाली बौधायन-रचना लगाइए, जिसमें a = b और b′ = h/2 है — E अंकित कीजिए, ED का मध्यबिंदु F लीजिए, वर्ग AFGH बनाइए, H केंद्र मानकर चाप AG खींचकर उसे BC से K पर काटिए, और आगे की रचना कीजिए। प्राप्त वर्ग HPQS का क्षेत्रफल ab′, अर्थात ½bh, होगा।
अंतिम वर्ग की भुजा = √(½bh)
अर्थात आयत की दोनों भुजाओं का गुणोत्तर माध्य
अर्थात आयत की दोनों भुजाओं का गुणोत्तर माध्य
ऐसा क्यों होता है: किसी आकृति का "वर्गीकरण" का अर्थ है ऐसी भुजा s ज्ञात करना कि s² = क्षेत्रफल, अर्थात रचना से वर्गमूल निकालना। बौधायन की युक्ति एक ज्यामितीय सर्वसमिका है —
(a+b⁄2)² − (a−b⁄2)² = ab
— जिसे समकोण त्रिभुज के रूप में साकार किया गया है: HK = (a+b)/2 कर्ण है, BH = (a−b)/2 एक भुजा, और शेष भुजा HP बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय से HP² = ab देती है। चूँकि प्रत्येक बहुभुज त्रिभुजों में कट सकता है, प्रत्येक त्रिभुज अब वर्गित हो सकता है, और पाइथागोरस प्रमेय से दो वर्ग मिलाकर एक वर्ग बनाया जा सकता है — इसलिए प्रत्येक बहुभुज वर्गित किया जा सकता है।
(a+b⁄2)² − (a−b⁄2)² = ab
— जिसे समकोण त्रिभुज के रूप में साकार किया गया है: HK = (a+b)/2 कर्ण है, BH = (a−b)/2 एक भुजा, और शेष भुजा HP बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय से HP² = ab देती है। चूँकि प्रत्येक बहुभुज त्रिभुजों में कट सकता है, प्रत्येक त्रिभुज अब वर्गित हो सकता है, और पाइथागोरस प्रमेय से दो वर्ग मिलाकर एक वर्ग बनाया जा सकता है — इसलिए प्रत्येक बहुभुज वर्गित किया जा सकता है।
क्या आप जानते हैं? केवल पैमाने और परकार से वृत्त का वर्गीकरण असंभव है। यह 1882 में तय हुआ, जब लिंडेमान ने सिद्ध किया कि π पूर्णांक गुणांकों वाले किसी भी बहुपद का मूल नहीं है।