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कक्षा ९ गणित अध्याय 6 प्रश्नावली 6.3 के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-08

प्र1.
किसी अन्य निर्देश की अनुपस्थिति में, सन्निकटन π = 22/7 का उपयोग कीजिए। यदि त्रिज्यखंड का कोण 60° है तो 7 सेंटीमीटर त्रिज्या वाले वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर

क्षेत्रफल = 77⁄3 ≈ 25.67 वर्ग सेंटीमीटर।

पूरे वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = 22⁄7 × 7² = 22⁄7 × 49 = 154 वर्ग से.मी.

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr² × θ°⁄360°
= 154 × 60⁄360
= 154 × 1⁄6
= 77⁄3
= 25.67 वर्ग सेंटीमीटर (2 दशमलव स्थान)
ऐसा क्यों होता है: त्रिज्यखंड का सूत्र वही सममिति-तर्क है जो चाप का है। चक्रिका को केंद्र के परितः घुमाने पर वह अपरिवर्तित रहती है, अतः एक-एक डिग्री के 360 त्रिज्यखंड सर्वांगसम हैं और प्रत्येक चक्रिका का 1/360 भाग है। 60° का त्रिज्यखंड उनमें से 60 है — चक्रिका का छठा भाग।
प्र2.
उस वृत्त के एक चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 44 सेंटीमीटर है।
उत्तर

क्षेत्रफल = 38.5 वर्ग सेंटीमीटर।

2πr = 44
2 × 22⁄7 × r = 44 ⟹ r = 7 से.मी.

वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = 22⁄7 × 49 = 154 वर्ग से.मी.

चतुर्थांश में θ = 90°, अर्थात वृत्त का 90⁄360 = ¼ भाग
चतुर्थांश का क्षेत्रफल = ¼ × 154 = 38.5 वर्ग सेंटीमीटर
संकेत: "चतुर्थांश" चक्रिका का चौथाई क्षेत्र होता है, जबकि "चतुर्थांश वृत्त" प्रायः केवल चाप के लिए प्रयुक्त होता है। प्रश्न किसे माँग रहा है, यह ध्यान से पढ़िए।
प्र3.
एक घड़ी की मिनट की सूई की लंबाई 7 सेंटीमीटर है। 10 मिनट में सूई द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर

तय की गई दूरी = 22⁄3 ≈ 7.33 सेंटीमीटर। यह सूई की नोक द्वारा तय की गई चाप की लंबाई है।

60 मिनट में मिनट की सूई 360° घूमती है।
10 मिनट में वह 360° × 10⁄60 = 60° घूमती है।

नोक 7 सेंटीमीटर त्रिज्या के वृत्त पर 60° की चाप तय करती है।
दूरी = 2πr × 60⁄360
= 2 × 22⁄7 × 7 × 1⁄6
= 44 × 1⁄6
= 22⁄3
= 7.33 सेंटीमीटर (2 दशमलव स्थान)
ऐसा क्यों होता है: सूई केंद्र पर टँकी एक रेखाखंड है। जैसे-जैसे वह घूमती है, उसकी नोक वृत्त की चाप खींचती है, और चाप की लंबाई पूरी परिधि का θ/360 भाग होती है।
संकेत: अंग्रेज़ी संस्करण में यही प्रश्न सूई द्वारा प्रसर्पित क्षेत्रफल पूछता है। वह 7 सेंटीमीटर त्रिज्या और 60° का त्रिज्यखंड है: πr² × 60⁄360 = 154 × 1⁄6 = 77⁄3 ≈ 25.67 वर्ग सेंटीमीटर।
प्र4.
10 सेंटीमीटर त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर 90° का कोण बनाती है। संगत क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए — (i) लघु त्रिज्यखंड (जो मध्यबिंदु पर 90° का कोण बनाता है) (ii) दीर्घ त्रिज्यखंड (जो मध्यबिंदु पर 270° का कोण बनाता है)। (π ≈ 3.14 का उपयोग कीजिए।)
उत्तर

(i) 78.5 वर्ग सेंटीमीटर (ii) 235.5 वर्ग सेंटीमीटर।

पूरे वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = 3.14 × 10² = 314 वर्ग से.मी.

(i) लघु त्रिज्यखंड, θ = 90°
= 314 × 90⁄360 = 314 × ¼ = 78.5 वर्ग से.मी.

(ii) दीर्घ त्रिज्यखंड, θ = 270°
= 314 × 270⁄360 = 314 × ¾ = 235.5 वर्ग से.मी.
स्वयं जाँचिए: 78.5 + 235.5 = 314 = पूरा वृत्त ✓। दोनों त्रिज्यखंड मिलकर 360° की हर डिग्री ले लेते हैं, अतः उनके क्षेत्रफल जुड़कर πr² ही होने चाहिए।
ऐसा क्यों होता है: जीवा चक्रिका को दो वृत्तखंडों में बाँटती है, किंतु दोनों त्रिज्याएँ उसे दो त्रिज्यखंडों में बाँटती हैं। यहाँ त्रिज्यखंड पूछे गए हैं, इसलिए कोई त्रिभुज घटाना नहीं पड़ा। प्र.5 में वृत्तखंड पूछे गए हैं और वहाँ त्रिभुज घटाना पड़ता है।
प्र5.
15 सेंटीमीटर त्रिज्या वाले एक वृत्त की एक जीवा वृत्त के केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। वृत्त के संगत लघु एवं दीर्घ खंडों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर

लघु वृत्तखंड ≈ 20.44 वर्ग सेंटीमीटर; दीर्घ वृत्तखंड ≈ 686.06 वर्ग सेंटीमीटर।

वृत्तखंड = त्रिज्यखंड − त्रिभुज।

त्रिज्यखंड (60°) का क्षेत्रफल = πr² × 60⁄360
= 3.14 × 225 × 1⁄6
= 706.5⁄6
= 117.75 वर्ग से.मी.

जीवा और दोनों त्रिज्याओं से बने त्रिभुज की दो भुजाएँ 15-15 से.मी. हैं
और उनके मध्य कोण 60° है ⟹ त्रिभुज समबाहु है, भुजा 15 से.मी.
क्षेत्रफल = √3⁄4 × 15² = 1.73⁄4 × 225 = 0.4325 × 225 = 97.3125 वर्ग से.मी.

लघु वृत्तखंड = त्रिज्यखंड − त्रिभुज
= 117.75 − 97.3125
= 20.44 वर्ग से.मी. (2 दशमलव स्थान)

दीर्घ वृत्तखंड = पूरा वृत्त − लघु वृत्तखंड
= 3.14 × 225 − 20.4375
= 706.5 − 20.4375
= 686.06 वर्ग से.मी. (2 दशमलव स्थान)
O 60° लघु वृत्तखंड
त्रिज्यखंड (नीला + लाल) में से समबाहु त्रिभुज (नीला) घटाने पर लघु वृत्तखंड (लाल) बचता है।
ऐसा क्यों होता है: केंद्र पर 60° अंतरित करने वाली जीवा विशेष होती है — 60° शीर्ष कोण वाले समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोण भी 60°-60° होते हैं, अतः वह समबाहु है और जीवा त्रिज्या के बराबर हो जाती है। इसीलिए संख्यात्मक सन्निकटन डालने तक पूरी गणना ठीक-ठीक बनी रहती है। लघु वृत्तखंड बहुत छोटा (चक्रिका का लगभग 3%) निकलता है क्योंकि 60° का त्रिज्यखंड वैसे ही पतला है और त्रिभुज उसका अधिकांश भाग भर देता है।
संकेत: हिंदी संस्करण में इस प्रश्न में π और √3 के मान नहीं दिए गए हैं; ऊपर वही π ≈ 3.14 और √3 ≈ 1.73 लिए गए हैं जो अंग्रेज़ी संस्करण निर्दिष्ट करता है।
प्र6.
एक कार में दो वाइपर लगे हैं जो एक-दूसरे को आपस में आच्छादित नहीं करते हैं। प्रत्येक वाइपर के ब्लेड की लंबाई 28 सेंटीमीटर है और यह 120° के कोण पर घूमता है। ब्लेड के प्रत्येक चक्र में साफ किए गए कुल क्षेत्रफल को ज्ञात कीजिए।
उत्तर

कुल साफ किया गया क्षेत्रफल = 4928⁄3 ≈ 1642.67 वर्ग सेंटीमीटर।

प्रत्येक ब्लेड 28 सेंटीमीटर त्रिज्या और 120° कोण का त्रिज्यखंड साफ करता है।

एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr² × θ°⁄360°
= 22⁄7 × 28² × 120⁄360
= 22⁄7 × 784 × 1⁄3
= 2464 × 1⁄3
= 2464⁄3 ≈ 821.33 वर्ग से.मी.

दो वाइपर, कोई अतिव्यापन नहीं:
कुल = 2 × 2464⁄3 = 4928⁄3 = 1642.67 वर्ग से.मी. (2 दशमलव स्थान)
ऐसा क्यों होता है: "जो एक-दूसरे को आच्छादित नहीं करते" वाक्यांश ही इस प्रश्न की गणितीय सामग्री है। यदि दोनों त्रिज्यखंड एक-दूसरे पर चढ़ते, तो जोड़ने पर उभयनिष्ठ भाग दो बार गिना जाता और उत्तर बड़ा आ जाता। असंयुक्त होने के कारण क्षेत्रफल सीधे जुड़ जाते हैं।
संकेत: वास्तविक वाइपर का ब्लेड धुरी तक नहीं पहुँचता, अतः वह जो क्षेत्र साफ करता है वह वलयाकार त्रिज्यखंड होता है — दो त्रिज्यखंडों का अंतर। प्रश्न में ब्लेड को पूरी त्रिज्या तक मान लिया गया है।
प्र7.
*त्रिज्या r वाले एक वृत्त की एक जीवा वृत्त के केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। दर्शाइए कि वृत्त के संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल r²(π/6 − √3/4) के समान है।
उत्तर

त्रिज्यखंड लेकर उसमें से त्रिभुज घटाइए।

60° के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr² × 60⁄360 = πr²⁄6

जीवा और दोनों त्रिज्याओं से बने त्रिभुज की दो भुजाएँ r हैं और उनके मध्य 60° है।
उसके आधार कोण प्रत्येक ½(180° − 60°) = 60° हैं, अतः वह समबाहु है, भुजा r।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = √3⁄4 r²

लघु वृत्तखंड = त्रिज्यखंड − त्रिभुज
= πr²⁄6 − √3⁄4 r²
= r²( π⁄6 − √3⁄4 ) ∎
संकेत — एक मुद्रण-भेद: हिंदी संस्करण में यह व्यंजक r²(π/6 − √3/4) ही छपा है (यद्यपि π का चिह्न कुछ धुँधला मुद्रित है), जो सही है। अंग्रेज़ी संस्करण में यह πr²(1/6 − √3/4) छप गया है, जो गुणा करने पर πr²⁄6 − π√3 r²⁄4 देता है और ऋणात्मक हो जाता है — अतः वह अशुद्ध है। संख्यात्मक रूप से सही व्यंजक r²(0.5236 − 0.4330) = 0.0906 r² है, जो एक पतले वृत्तखंड के अनुरूप छोटा धनात्मक मान है।
ऐसा क्यों होता है: वृत्तखंड सदा "त्रिज्यखंड घटा त्रिभुज" होता है, और 60° की स्थिति में त्रिभुज सबसे सरल है क्योंकि जीवा त्रिज्या के बराबर होती है। r = 15, π ≈ 3.14 और √3 ≈ 1.73 रखने पर 225(0.52333 − 0.4325) = 225 × 0.09083 = 20.44 वर्ग से.मी. मिलता है — ठीक प्र.5 का उत्तर।
प्र8.
*एक समबाहु त्रिभुज r त्रिज्या वाले एक वृत्त में अंतर्निहित है। दर्शाइए कि त्रिभुज के क्षेत्रफल और वृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात 3√3/(4π) ≈ 0.413 के समान है।
उत्तर

पहले त्रिभुज की भुजा r के पदों में ज्ञात कीजिए।

त्रिभुज ABC लीजिए, वृत्त का केंद्र O, तथा OA = OB = OC = r।
सममिति से तीनों केंद्रीय कोण ∠AOB, ∠BOC, ∠COA समान हैं,
अतः प्रत्येक 360° ÷ 3 = 120° है।

O से जीवा AB पर लंब OM डालिए। वह AB और ∠AOB दोनों को समद्विभाजित करता है।
∴ ∠AOM = 60°, और समकोण त्रिभुज OAM में AM = OA sin 60° = r·√3⁄2
∴ भुजा AB = 2AM = √3 r

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = √3⁄4 (भुजा)²
= √3⁄4 × 3r²
= 3√3⁄4 r²

वृत्त का क्षेत्रफल = πr²

अनुपात = (3√3/4) r²⁄πr² = 3√3⁄4π
= 3 × 1.7320…⁄4 × 3.14159… = 5.196⁄12.566 ≈ 0.413 ∎
ऐसा क्यों होता है: r² कट जाता है, अतः अनुपात एक शुद्ध संख्या है — वह वृत्त के आकार पर निर्भर नहीं करता। यह वही मापन-सिद्धांत है जो C/D के लिए था: "वृत्त में अंतर्निहित समबाहु त्रिभुज" वाली कोई भी दो आकृतियाँ समरूप हैं, अतः उनमें क्षेत्रफलों का हर अनुपात स्थिर है। 0.413 का अर्थ है कि त्रिभुज चक्रिका का लगभग 60% भाग छोड़ देता है — तीन बड़े वृत्तखंड बचे रह जाते हैं।
संकेत: स्मरण रखने योग्य तथ्य — समबाहु त्रिभुज में भुजा = √3 × परिवृत्त त्रिज्या, और परिवृत्त त्रिज्या = 2 × अंतर्वृत्त त्रिज्या।
प्र9.
*एक वर्ग r त्रिज्या वाले एक वृत्त में अंतर्निहित है। दर्शाइए कि वर्ग के क्षेत्रफल और वृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात 2/π ≈ 0.637 के समान है।
उत्तर

अंतर्निहित वर्ग का विकर्ण एक व्यास होता है।

वर्ग का प्रत्येक शीर्ष वृत्त पर है, और सम्मुख शीर्ष केंद्र पर 180° अंतरित करते हैं,
अतः विकर्ण O से होकर जाता है।
विकर्ण = 2r

भुजा a हो तो बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय से
a² + a² = (2r)²
2a² = 4r²
a² = 2r² ⟹ वर्ग का क्षेत्रफल = 2r²

वृत्त का क्षेत्रफल = πr²

अनुपात = 2r²⁄πr² = 2⁄π = 2⁄3.14159… ≈ 0.637 ∎
ऐसा क्यों होता है: ध्यान दीजिए कि वर्ग की भुजा निकालनी ही नहीं पड़ी — केवल उसका वर्ग चाहिए था, और क्षेत्रफल के लिए वही पर्याप्त है। अंतर्निहित वर्ग चक्रिका का लगभग 64% भाग घेरता है, जो अंतर्निहित समबाहु त्रिभुज के 41% से अधिक है। यह संयोग नहीं — अंतर्निहित सम बहुभुज की भुजाएँ जितनी अधिक होंगी, वह वृत्त से उतना ही सटेगा और अनुपात 1 के उतना ही निकट जाएगा। प्र.10 में षट्भुज (82.7%) है, और आर्किमिडीज इसे 96 भुजाओं तक ले गए थे।
प्र10.
*एक r त्रिज्या वाले वृत्त में एक षट्भुज अंतर्निहित है। दर्शाइए कि षट्भुज के क्षेत्रफल और वृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात 3√3/(2π) = 0.827 के समान है। क्या आप समझ सकते हैं कि इसका उत्तर, प्रश्न 8 के उत्तर के ठीक दोगुना क्यों है?
उत्तर

वृत्त में अंतर्निहित सम षट्भुज केंद्र पर जुड़े छह समबाहु त्रिभुजों से बना होता है।

प्रत्येक केंद्रीय कोण = 360° ÷ 6 = 60°।
दो त्रिज्याएँ और भुजा मिलकर 60° शीर्ष कोण वाला समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं,
अतः वह समबाहु है, भुजा r।

ऐसे एक त्रिभुज का क्षेत्रफल = √3⁄4 r²
षट्भुज का क्षेत्रफल = 6 × √3⁄4 r² = 3√3⁄2 r²

अनुपात = (3√3/2) r²⁄πr² = 3√3⁄2π ≈ 5.196⁄6.283 ≈ 0.827

प्रश्न 8 के उत्तर का ठीक दोगुना क्यों।

षट्भुज = 3√3⁄2 r² अंतर्निहित समबाहु त्रिभुज = 3√3⁄4 r²
षट्भुज = 2 × त्रिभुज, अतः दोनों अनुपात भी 2 : 1 में हैं।

ज्यामितीय रूप से — षट्भुज के शीर्ष A, B, C, D, E, F मानिए। एकांतर शीर्षों A, C, E को मिलाने पर ठीक वही अंतर्निहित समबाहु त्रिभुज बनता है जो प्रश्न 8 में था। शेष तीन कोने के त्रिभुज ABC, CDE, EFA बचते हैं। इनमें से प्रत्येक की दो भुजाएँ षट्भुज की भुजा हैं और उनके मध्य 120° का अंतःकोण है, अतः तीनों सर्वांगसम हैं। अब ΔACE तीन r-भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों से बना है (O को A, C, E से मिलाइए), अतः

ar(ΔACE) = 3 × √3⁄4 r² = 3√3⁄4 r²
ar(षट्भुज) − ar(ΔACE) = 3√3⁄2 r² − 3√3⁄4 r² = 3√3⁄4 r²

अतः तीनों कोने के त्रिभुज मिलकर बीच के त्रिभुज के बराबर हैं:
षट्भुज अंतर्निहित समबाहु त्रिभुज का दोगुना है। ∎
A E C
अंतर्निहित त्रिभुज ACE (नीला) और बचे तीनों कोने के त्रिभुज (गुलाबी) क्षेत्रफल में बराबर हैं — अतः षट्भुज त्रिभुज का दोगुना है।
ऐसा क्यों होता है: छह समबाहु त्रिभुज एक बिंदु के चारों ओर ठीक-ठीक बैठ जाते हैं, क्योंकि 6 × 60° = 360°। इसी एक तथ्य से सम षट्भुज वृत्त में अंतर्निहित करने के लिए सबसे सरल बहुभुज बन जाता है — भुजा त्रिज्या के बराबर होती है, अतः परकार की एक ही सेटिंग छह चरणों में पूरा वृत्त नाप देती है। मधुमक्खी का छत्ता और फ़र्श की टाइलें भी इसी कारण षट्भुजाकार होती हैं।
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