कक्षा ९ गणित अध्याय 6 पाठ्य प्रश्न के लिए एनसीईआरटी समाधान
अद्यतन2026-09-08
प्र1.
जैसे-जैसे टुकड़े छोटे होते जाते हैं (चित्र 6.37(ख) में), चाप एक रेखा के और पास होती जाती हैं। इस प्रकार, आगे चलकर यह आकृति एक समांतर चतुर्भुज के आकार की बन जाती है, जिसमें — आधार = परिधि का आधा (क्यों?) = πr, ऊँचाई = त्रिज्या r है।
उत्तर
क्योंकि टुकड़े एक बार ऊपर, एक बार नीचे — बारी-बारी से रखे जाते हैं, अतः ठीक आधे टुकड़ों की चापें ऊपरी कोर पर आती हैं और शेष आधे की निचली कोर पर।
चक्रिका को 2n बराबर टुकड़ों (त्रिज्यखंडों) में काटिए। प्रत्येक टुकड़े की दो सीधी भुजाएँ r लंबी हैं और एक चाप है। सभी 2n चापें मिलकर पूरी परिधि = 2πr बनाती हैं।
उन्हें बारी-बारी से नोक ऊपर, नोक नीचे रखिए। n नोक-ऊपर टुकड़े अपनी चापें नीचे की कोर पर बिछा देते हैं। n नोक-नीचे टुकड़े अपनी चापें ऊपर की कोर पर बिछा देते हैं।
ऊपरी कोर की लंबाई = n चापें = ½ × 2πr = πr ऊँचाई = टुकड़े की सीधी भुजा = r
चक्रिका का क्षेत्रफल = लगभग बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई = πr × r = πr²
बारी-बारी से ऊपर-नीचे रखे टुकड़ों की चापें दोनों लंबी कोरों में बराबर बँट जाती हैं — प्रत्येक कोर को आधी परिधि मिलती है।
ऐसा क्यों होता है: टुकड़ों को पुनर्व्यवस्थित करने से कुछ बनता या नष्ट नहीं होता, अतः क्षेत्रफल अपरिवर्तित रहता है। बदलता है केवल आकार, और वह समांतर चतुर्भुज की ओर बढ़ता है — टुकड़े जितने पतले होते जाते हैं, प्रत्येक चाप उतनी ही सीधी रेखा जैसी और तिरछे सिरे उतने ही ऊर्ध्वाधर होते जाते हैं। नीलकंठ सोमयाजी ने लगभग 1500 सामान्य संवत में आर्यभटीय पर अपनी टिप्पणी में ठीक यही चित्र दिया। यह एक सीमा-तर्क है — कलन का पहला विचार — और इसीलिए उत्तर सन्निकट नहीं, ठीक πr² है।
स्वयं जाँचिए: यही चित्र आर्किमिडीज के इस कथन को भी समझाता है कि वृत्त उस समकोण त्रिभुज के बराबर है जिसकी भुजाएँ r और 2πr हैं — πr आधार और r ऊँचाई वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 2πr आधार और r ऊँचाई वाले त्रिभुज के बराबर ही होता है।
क्या यह उपयोगी रहा?प्रतिक्रिया के लिए धन्यवाद!त्रुटि बताएँ