कक्षा ९ गणित अध्याय 6 अंतिम प्रश्नावली के लिए एनसीईआरटी समाधान
अद्यतन2026-09-08
प्र1.
नीचे दिए गए प्रश्नों में किसी अन्य निर्देश की अनुपस्थिति में, π का सन्निकट मान 22/7 उपयोग कीजिए। बीजगणित में सर्वसमिकाओं को कभी-कभी क्षेत्रफल के संबंधों के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए — प्रदर्शित चित्र (चित्र 6.41: a + b भुजा वाला वर्ग जो a², ab, ab और b² में बँटा है) सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² के अनुरूप है। क्या आप बता सकते हैं, कैसे? (a + b)(a – b) = a² – b² और (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca सर्वसमिकाओं के अनुरूप आकृतियाँ बनाइए।
उत्तर
हाँ। चित्र 6.41 में बाहरी वर्ग की भुजा a + b है, अतः उसका क्षेत्रफल (a + b)² है। प्रत्येक भुजा को a और b में बाँटने वाले बिंदु पर काटने से वर्ग चार आयतों में बँट जाता है, जिनके क्षेत्रफल a², ab, ab और b² हैं। टुकड़े मिलकर पूरा वर्ग बनाते हैं, अतः (a + b)² = a² + 2ab + b²।
(a + b)(a – b) = a² – b² के लिए आकृति।a भुजा वाला वर्ग लीजिए और उसके एक कोने से b भुजा वाला वर्ग काट दीजिए। शेष का क्षेत्रफल a² – b² है। इस L-आकृति को नीचे दिखाए अनुसार काटकर एक टुकड़ा बगल में सरका दीजिए।
a² − b² वाली L-आकृति को a − b ऊँचाई के दो आयतों में काटकर सिरे से सिरा जोड़ने पर (a + b)(a − b) का एक आयत बनता है।
L-आकृति = a² − b² = [a × (a − b)] + [b × (a − b)] = (a − b)(a + b) ✓
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के लिए आकृति।a + b + c भुजा वाला वर्ग लेकर प्रत्येक भुजा को a, b, c टुकड़ों में बाँटिए। इससे 3 × 3 की जाली में नौ आयत बनते हैं।
नौ टुकड़े — विकर्ण पर तीन वर्ग और तीन जोड़ियों में छह आयत।
ऐसा क्यों होता है: क्षेत्रफल-प्रतिदर्श बीजगणितीय सर्वसमिका को ऐसे कथन में बदल देता है जिसे आप देख सकें — पूर्ण अपने भागों के योग के बराबर है। यह भी समझा देता है कि "मिश्रित पदों" के साथ 2 क्यों आता है — प्रत्येक मिश्रित आयत दो बार आता है, एक बार विकर्ण के ऊपर और एक बार नीचे, क्योंकि ab और ba चित्र में अलग टुकड़े हैं पर संख्या एक ही है। दूसरी आकृति में c = 0 रखिए तो नीचे की पंक्ति और दाईं ओर का स्तंभ लुप्त हो जाते हैं और चित्र 6.41 बच जाता है — पहली सर्वसमिका दूसरी की विशेष स्थिति है।
प्र2.
एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 40 सेंटीमीटर है। इसकी समान भुजाएँ 15 सेंटीमीटर लंबी हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर
क्षेत्रफल = 50√2 ≈ 70.71 वर्ग सेंटीमीटर।
आधार = 40 − (15 + 15) = 10 से.मी.
हीरोन के सूत्र से: s = ½ × 40 = 20 क्षेत्रफल = √(20 × (20−15) × (20−15) × (20−10)) = √(20 × 5 × 5 × 10) = √5000 = √(2500 × 2) = 50√2 ≈ 70.71 वर्ग सेंटीमीटर
½ × आधार × ऊँचाई से जाँच। समद्विबाहु त्रिभुज में आधार पर डाली गई ऊँचाई आधार को समद्विभाजित करती है —
h = √(15² − 5²) = √(225 − 25) = √200 = 10√2 क्षेत्रफल = ½ × 10 × 10√2 = 50√2 ✓
ऐसा क्यों होता है: समद्विबाहु त्रिभुज में दोनों विधियाँ उपलब्ध हैं और उत्तर मिलना ही चाहिए — हीरोन का सूत्र कोई भिन्न ज्यामिति नहीं, केवल भिन्न रास्ता है। ऊँचाई कठिन हो तो हीरोन तेज़ है; ऊँचाई सरल हो तो ऊँचाई वाली विधि तेज़ है।
प्र3.
एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार 10 सेंटीमीटर है और इसका क्षेत्रफल 60 वर्ग सेंटीमीटर है। समान भुजाओं की लंबाई क्या होगी?
उत्तर
प्रत्येक समान भुजा 13 सेंटीमीटर है।
क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई 60 = ½ × 10 × h 60 = 5h ⟹ h = 12 से.मी.
समद्विबाहु त्रिभुज में आधार पर डाली ऊँचाई आधार को समद्विभाजित करती है, अतः 5 और 12 भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज बनता है।
ऐसा क्यों होता है: यह प्र.2 का उल्टा है। त्रिभुज समद्विबाहु है, इसलिए शीर्षलंब का पाद आधार का मध्यबिंदु होता है — केवल यही अतिरिक्त तथ्य चाहिए, और वह आकृति की उसी शीर्षलंब के सापेक्ष परावर्तन सममिति से आता है।
प्र4.
एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 54 वर्ग सेंटीमीटर है। इसकी एक भुजा की लंबाई 12 सेंटीमीटर है। इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
उत्तर
परिमाप = 36 सेंटीमीटर।
समकोण त्रिभुज में दोनों समकोण-भुजाएँ परस्पर लंब हैं, अतः एक आधार है और दूसरी ऊँचाई।
स्वयं जाँचिए: क्या 12 सेंटीमीटर वाली भुजा कर्ण हो सकती थी? तब समकोण-भुजाएँ p, q ऐसी होतीं कि pq = 108 और p² + q² = 144। किंतु p² + q² ≥ 2pq = 216 > 144 — असंभव। अतः 12 सेंटीमीटर समकोण-भुजा ही है।
ऐसा क्यों होता है: समकोण ही इसे सरल बनाता है — वह आधार और उस पर लंब ऊँचाई मुफ़्त में दे देता है, अतः ऊँचाई की अलग गणना नहीं करनी पड़ती। 9–12–15, 3–4–5 त्रिक का तिगुना है।
प्र5.
एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 2:3:4 है और इसका परिमाप 45 सेंटीमीटर है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
ऐसा क्यों होता है: 84375 = 5⁵ × 3³, अतः √84375 = 5²·3·√(5 × 3) = 75√15। पूर्ण वर्ग बाहर निकालना श्रम के योग्य है — इससे एक अपरिचित संख्या ठीक-ठीक उत्तर बन जाती है जिसकी जाँच की जा सके। यह भी ध्यान दीजिए कि 10 + 15 = 25 > 20, अतः ये तीनों लंबाइयाँ वास्तव में त्रिभुज बनाती हैं।
प्र6.
एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई 7 सेंटीमीटर, 24 सेंटीमीटर और 25 सेंटीमीटर है। त्रिभुज का क्षेत्रफल दो भिन्न-भिन्न विधियों से ज्ञात कीजिए।
उत्तर
दोनों विधियों से क्षेत्रफल = 84 वर्ग सेंटीमीटर।
विधि 1 — समकोण पहचानिए।
7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25² बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से त्रिभुज समकोण है, और समकोण 7 तथा 24 भुजाओं के मध्य है।
क्षेत्रफल = ½ × 7 × 24 = 84 वर्ग से.मी.
विधि 2 — हीरोन का सूत्र।
s = ½(7 + 24 + 25) = 56⁄2 = 28 s − a = 21, s − b = 4, s − c = 3
क्षेत्रफल = √(28 × 21 × 4 × 3) = √7056 = 84 वर्ग से.मी. ✓
ऐसा क्यों होता है: दोनों को एक ही उत्तर देना ही चाहिए, क्योंकि दोनों एक ही क्षेत्रफल निकालते हैं। पहली विधि जब संख्याएँ साथ दें तब कहीं तेज़ है — 7, 24, 25 एक पाइथागोरस त्रिक है। हीरोन के सूत्र को ऐसे सौभाग्य की आवश्यकता नहीं; वह किन्हीं तीन भुजाओं पर काम करता है। यही "सूत्र को ज्ञात स्थितियों पर परखो" वाली रणनीति है जो अध्याय ने उदाहरण 3, 4 और 5 में अपनाई थी।
संकेत: स्मरण रखने योग्य पाइथागोरस त्रिक — 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 20-21-29 — और इनके सभी गुणज।
प्र7.
यदि किसी साइकिल के पहिए का व्यास 60 सेंटीमीटर है तो पहिए के 100 बार घूर्णन के पश्चात साइकिल चालक कितनी दूरी तय करेगा?
उत्तर
दूरी ≈ 18857.14 सेंटीमीटर = 188.57 मीटर।
एक घूर्णन में तय दूरी = परिधि = πd = 22⁄7 × 60 = 1320⁄7 ≈ 188.57 से.मी.
100 घूर्णनों में दूरी = 100 × 1320⁄7 = 132000⁄7 ≈ 18857.14 से.मी. = 188.57 मीटर (2 दशमलव स्थान)
ऐसा क्यों होता है: लुढ़कता पहिया प्रत्येक चक्कर में अपनी परिधि ठीक एक बार सड़क पर बिछा देता है, अतः दूरी = (चक्करों की संख्या) × परिधि। इसीलिए बड़े पहियों वाली साइकिल एक ही गियर में प्रत्येक पैडल-चक्र में अधिक दूरी तय करती है।
प्र8.
उस वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 66 सेंटीमीटर है।
उत्तर
क्षेत्रफल = 86.625 वर्ग सेंटीमीटर।
2πr = 66 2 × 22⁄7 × r = 66 44⁄7 r = 66 ⟹ r = 66 × 7⁄44 = 21⁄2 = 10.5 से.मी.
वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = 22⁄7 × (10.5)² = 22⁄7 × 110.25 = 22 × 15.75 = 346.5 वर्ग से.मी.
चतुर्थांश का क्षेत्रफल = ¼ × 346.5 = 86.625 वर्ग सेंटीमीटर
संकेत: 10.5 को 21⁄2 के रूप में रखिए तो गणना ठीक-ठीक रहती है: πr² = 22⁄7 × 441⁄4 = 22 × 63⁄4 = 1386⁄4 = 346.5।
प्र9.
एक कार के पहिए की बाहरी त्रिज्या 28 सेंटीमीटर है। पहिए के एक पूर्ण घूर्णन के पश्चात कार कितनी दूरी तय करती है और एक किलोमीटर की यात्रा के दौरान पहिया कितनी बार घूमता है, इसकी गणना कीजिए।
उत्तर
एक घूर्णन = 176 सेंटीमीटर = 1.76 मीटर; एक किलोमीटर में लगभग 568 घूर्णन।
एक घूर्णन में दूरी = 2πr = 2 × 22⁄7 × 28 = 2 × 22 × 4 = 176 से.मी. = 1.76 मीटर
1 किलोमीटर = 1000 मीटर = 1,00,000 से.मी. घूर्णनों की संख्या = 100000⁄176 = 568.18… ≈ 568 पूर्ण घूर्णन
ऐसा क्यों होता है: पहिया 568 पूरे चक्कर लगाता है और 569वें चक्कर का 0.18 भाग तय करता है। चूँकि पहिया चक्कर का अंश लगाकर यात्रा नहीं रोक सकता, "कितनी बार घूमता है" का उत्तर पूर्ण संख्या 568 देना उचित है — यह जोड़ते हुए कि अगले चक्कर का कुछ भाग भी लगता है।
स्वयं जाँचिए: 568 × 1.76 मीटर = 999.68 मीटर, अर्थात एक किलोमीटर से 32 सेंटीमीटर कम — ठीक वही 0.18 चक्कर जो बचा था।
प्र10.
*दो आयतों का क्षेत्रफल और परिमाप समान है। क्या इसका अर्थ यह है कि वे दोनों एक-दूसरे के सर्वांगसम हैं?
उत्तर
हाँ। आयतों के लिए क्षेत्रफल और परिमाप दोनों समान होने से भुजाओं की जोड़ी भी वही हो जाती है।
पहले आयत की भुजाएँ a, b और दूसरे की p, q मान लीजिए। परिमाप समान: a + b = p + q = S क्षेत्रफल समान: ab = pq = A
तब a और b समीकरण x² − Sx + A = 0 के दो मूल हैं, और p तथा q भी उसी समीकरण के मूल हैं।
द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल होते हैं, अतः {a, b} = {p, q}। ∴ दोनों आयतों की लंबाई और चौड़ाई समान हैं — वे सर्वांगसम हैं।
ऐसा क्यों होता है: आयत अपनी दो भुजाओं की लंबाइयों से पूरी तरह निर्धारित होता है, और दो संख्याओं का योग तथा गुणनफल उन दो संख्याओं को (क्रम छोड़कर) निर्धारित कर देते हैं। यही "योग और गुणनफल" वाला विचार आप द्विघात के गुणनखंडन में फिर मिलेंगे। ध्यान दीजिए कि यह अध्याय के शेष भाग से कितना विपरीत है — त्रिभुजों में समान क्षेत्रफल और समान परिमाप सर्वांगसमता नहीं देते, और समांतर चतुर्भुजों में तो चारों भुजाएँ भी क्षेत्रफल तय नहीं करतीं।
यह कीजिए: समान परिमाप और समान क्षेत्रफल वाले दो असर्वांगसम त्रिभुज खोजिए — जैसे (17, 25, 28) और (20, 21, 29) भुजाओं वाले त्रिभुज। दोनों का परिमाप 70 और क्षेत्रफल 210 है। अर्थात त्रिभुजों के लिए उत्तर "नहीं" होता।
प्र11.
आप जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार × ऊँचाई होता है। इस सूत्र और आकृति का उपयोग करते हुए दर्शाइए कि समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल समांतर भुजाओं के योग का आधा और ऊँचाई का गुणनफल, अर्थात ½(a + b)h होता है। (चित्र 6.42: समलंब चतुर्भुज — समांतर भुजाएँ a और b, ऊँचाई h।)
उत्तर
समलंब चतुर्भुज को एक समांतर चतुर्भुज और एक त्रिभुज में काटिए, ठीक जैसा चित्र 6.42 दिखाता है।
समांतर भुजाएँ a (छोटी, ऊपर) और b (बड़ी, नीचे) तथा ऊँचाई h लीजिए। ऊपरी भुजा के बाएँ सिरे से बाईं तिरछी भुजा के समांतर एक रेखा नीचे की भुजा तक खींचिए।
इससे समलंब चतुर्भुज बँट जाता है — • a आधार और h ऊँचाई वाला समांतर चतुर्भुज → क्षेत्रफल = ah • (b − a) आधार और h ऊँचाई वाला त्रिभुज → क्षेत्रफल = ½(b − a)h
तिरछी भुजा के समांतर एक ही कटान समलंब चतुर्भुज को a आधार के समांतर चतुर्भुज और b − a आधार के त्रिभुज में बाँट देती है।
ऐसा क्यों होता है: ½(a + b) दोनों समांतर भुजाओं का औसत है। अतः सूत्र कहता है — समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उस आयत के बराबर है जिसकी चौड़ाई उसकी दोनों समांतर भुजाओं का औसत है। वह औसत चौड़ाई दोनों तिरछी भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड की लंबाई ही है — मध्य-रेखा — और इसीलिए सूत्र देखते ही ठीक लगता है।
प्र12.
एक समलंब चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित करके दर्शाइए कि इसका क्षेत्रफल समांतर भुजाओं के योग का आधा और ऊँचाई का गुणनफल होता है (जैसा कि सूत्र में ऊपर दिया गया है)।
उत्तर
एक विकर्ण खींचिए। वह समलंब चतुर्भुज को दो ऐसे त्रिभुजों में बाँट देता है जिनकी ऊँचाई समान है।
समलंब चतुर्भुज ABCD लीजिए, जिसमें AB ∥ DC, AB = a, DC = b और उनके मध्य दूरी h है। विकर्ण AC खींचिए।
ΔABC: आधार AB = a; शीर्ष C रेखा DC पर है, जो AB से h दूरी पर है ⟹ ऊँचाई h ar(ΔABC) = ½ a h
ΔACD: आधार DC = b; शीर्ष A रेखा AB पर है, जो फिर h दूरी पर है ⟹ ऊँचाई h ar(ΔACD) = ½ b h
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ah + ½bh = ½(a + b)h ∎
एक विकर्ण, दो त्रिभुज — प्रत्येक एक समांतर भुजा पर खड़ा और दोनों की ऊँचाई वही h।
ऐसा क्यों होता है: दोनों समांतर भुजाएँ h दूरी पर स्थित दो समांतर रेखाओं पर हैं। जिस त्रिभुज का आधार एक रेखा पर और शीर्ष दूसरी रेखा पर हो, उसकी ऊँचाई सदा h होती है — चाहे शीर्ष रेखा पर कहीं भी हो। यही एक अवलोकन दोनों त्रिभुजों को सरल बना देता है, और यह वही "समान आधार, समान समांतर रेखाओं के मध्य" औज़ार है जो प्रश्नावली 6.2 में बार-बार लगा।
प्र13.
दर्शाइए कि समलंब चतुर्भुज की दो समान प्रतियों का उपयोग करके समांतर चतुर्भुज कैसे निर्मित कर सकते हैं। इससे हमें समलंब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र कैसे प्राप्त होगा?
उत्तर
समलंब चतुर्भुज ABCD लीजिए, जिसमें AB ∥ DC, AB = a, DC = b, ऊँचाई h। उसकी एक समान प्रति बनाइए, उसे 180° घुमाइए और किसी एक तिरछी भुजा के सहारे मूल आकृति से जोड़ दीजिए।
प्रति को आधा घुमाने पर दोनों तिरछी भुजाएँ मिल जाती हैं; नई आकृति की ऊपरी और निचली कोर, दोनों a + b लंबी हैं।
आधा घूर्णन प्रत्येक रेखा को उसके समांतर रेखा पर भेजता है, अतः प्रति की भुजा DC, AB के समांतर और उसी सीध में आ जाती है। नई आकृति में निचली कोर = b + a ऊपरी कोर = a + b और ऊँचाई वही h
सम्मुख भुजाएँ समान और समांतर ⟹ यह समांतर चतुर्भुज है।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई = (a + b) h किंतु यह दो समान समलंब चतुर्भुजों से बना है: 2 × समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = (a + b)h ∴ समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½(a + b)h ∎
ऐसा क्यों होता है: यह वही दोगुना करने की युक्ति है जो त्रिभुज के लिए लगी थी — त्रिभुज की दो सर्वांगसम प्रतियाँ समांतर चतुर्भुज बनाती हैं, इसलिए ½ आता है। यहाँ भी कारण वही है: तिरछी भुजा के मध्यबिंदु के परितः आधा घूर्णन उस भुजा के दोनों सिरे बदल देता है और दोनों समांतर भुजाओं को a + b लंबी एक ही सीधी कोर में बदल देता है। तीनों उपपत्तियों (प्र.11, प्र.12, प्र.13) में यही सबसे स्पष्ट रूप से दिखाती है कि ½ कहाँ से आता है।
प्र14.
दर्शाइए कि पतंग का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है। इन दोनों तरह से दर्शाइए — (i) बीजगणित का उपयोग करके (ii) ज्यामिति का उपयोग करके
उत्तर
पतंग ABCD लीजिए, जिसमें AB = AD और CB = CD हैं, अतः AC उसका सममिति-अक्ष है। तब AC, BD का लंब समद्विभाजक है। d₁ = AC और d₂ = BD लिखिए, और मान लीजिए AC, BD को M पर काटता है।
(i) बीजगणित से।
AC ⊥ BD, और M, BD का मध्यबिंदु है, अतः BM = MD = d₂⁄2 AM = p और MC = q लीजिए, अतः p + q = d₁।
ar(ΔABD) = ½ × BD × AM = ½ d₂ p ar(ΔCBD) = ½ × BD × CM = ½ d₂ q
ar(पतंग) = ½ d₂ p + ½ d₂ q = ½ d₂ (p + q) = ½ d₁ d₂
(ii) ज्यामिति से। प्रत्येक शीर्ष से होकर उस विकर्ण के समांतर रेखा खींचिए जो उससे होकर नहीं जाता। चारों रेखाएँ मिलकर एक आयत बनाती हैं जिसकी भुजाएँ d₁ और d₂ हैं (क्योंकि AC ⊥ BD)।
पतंग के भीतर के चारों छोटे समकोण त्रिभुजों में से प्रत्येक के ठीक बाहर उसका सर्वांगसम जोड़ीदार है, अतः पतंग d₁ × d₂ आयत का ठीक आधा है।
दोनों विकर्ण पतंग को 4 समकोण त्रिभुजों में काटते हैं। पतंग की प्रत्येक भुजा के दूसरी ओर, आयत के भीतर, उनमें से हर त्रिभुज की एक सर्वांगसम प्रति है (वही दो भुजाएँ, उनके मध्य समकोण)। अतः पतंग के भीतर के 4 और बाहर के 4 त्रिभुज जोड़ियों में बँट जाते हैं।
ar(पतंग) = ½ ar(आयत) = ½ d₁ d₂ ∎
ऐसा क्यों होता है: केवल एक गुण का उपयोग हुआ — विकर्ण परस्पर लंब हैं। अतः सूत्र ½d₁d₂ हर उस चतुर्भुज पर लागू होता है जिसके विकर्ण लंब हों: पतंग, समचतुर्भुज और वर्ग — सब पर। इसीलिए प्रश्नावली 6.2 के प्र.5 में समचतुर्भुज पर यही सूत्र लगा था।
प्र15.
सर्वांगसम आकृतियों को आपस में जोड़ने से संबंधित तीन प्रश्न दिए गए हैं — (i) आयत ABCD की भुजाएँ a और b हैं और आयत PQRS की भुजाएँ 2a और 2b हैं। दर्शाइए कि PQRS का क्षेत्रफल ABCD के क्षेत्रफल का चार गुना है। क्या इसका अर्थ यह है कि आयत ABCD की चार प्रतिआकृतियाँ आयत PQRS में समाहित हो सकती हैं? परीक्षण करके देखिए! (ii) ΔABC की भुजाएँ a, b, c हैं और ΔPQR की भुजाएँ 2a, 2b, 2c हैं। दर्शाइए कि ΔPQR का क्षेत्रफल ΔABC के क्षेत्रफल का चार गुना है। क्या इसका यह अर्थ है कि ΔPQR में ΔABC की 4 प्रतिआकृतियाँ समाहित हो सकती हैं? परीक्षण करके देखिए! (iii) ΔABC की भुजाएँ a, b, c हैं और ΔPQR की भुजाएँ 3a, 3b, 3c हैं। दर्शाइए कि ΔPQR का क्षेत्रफल ΔABC के क्षेत्रफल का नौ गुना है। क्या इसका यह अर्थ है कि ΔPQR में ΔABC की नौ प्रतिआकृतियाँ समाहित हो सकती हैं? परीक्षण करके देखिए!
उत्तर
तीनों भागों में क्षेत्रफल का अनुपात k² है, और तीनों में प्रतियाँ वास्तव में समा जाती हैं — किंतु दूसरे और तीसरे भाग में इसके लिए रचना करनी पड़ती है, केवल अंकगणित पर्याप्त नहीं।
(i) आयत।
ar(ABCD) = ab ar(PQRS) = 2a × 2b = 4ab = 4 ab ✓
और हाँ, चार प्रतियाँ समा जाती हैं — PQRS को दोनों दिशाओं में आधा-आधा काटिए, a × b के आयतों की 2 × 2 की सारणी बन जाएगी।
(ii) त्रिभुज, मापन गुणक 2। ΔPQR की तीनों भुजाएँ ΔABC की दोगुनी हैं, अतः दोनों त्रिभुज 2 अनुपात में समरूप हैं। ΔPQR की प्रत्येक लंबाई — किसी भी भुजा पर ऊँचाई सहित — दोगुनी है।
ar(ΔABC) = ½ b h ar(ΔPQR) = ½ (2b)(2h) = 4 × ½ b h = 4 ar(ΔABC) ✓
चार प्रतियाँ समा जाती हैं। ΔPQR की तीनों भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाइए। इससे वह चार त्रिभुजों में बँट जाता है — बीच वाला (माध्यिका-त्रिभुज) और कोनों के तीन। मध्यबिंदु प्रमेय से प्रत्येक की भुजाएँ a, b, c हैं, अतः चारों ΔABC के सर्वांगसम हैं।
मध्यबिंदुओं को मिलाने पर दोगुने आकार का त्रिभुज मूल त्रिभुज की चार सर्वांगसम प्रतियों में बँट जाता है — बीच वाली उलटी होती है।
(iii) त्रिभुज, मापन गुणक 3।
ar(ΔPQR) = ½ (3b)(3h) = 9 × ½ b h = 9 ar(ΔABC) ✓
नौ प्रतियाँ समा जाती हैं। ΔPQR की प्रत्येक भुजा को तीन बराबर भागों में बाँटिए और विभाजन बिंदुओं से भुजाओं के समांतर सभी रेखाएँ खींचिए। इससे 9 छोटे त्रिभुज बनते हैं — 6 ΔPQR की ही दिशा में और 3 उलटे — और हर एक की भुजाएँ a, b, c हैं।
ऐसा क्यों होता है: "क्षेत्रफल का अनुपात k²" और "k² प्रतियाँ समा जाती हैं" दो अलग कथन हैं, और दूसरा पहले से निकलता नहीं। (दो आकृतियों के क्षेत्रफल 4 : 1 में हो सकते हैं और फिर भी छोटी आकृति बड़ी को न ढके — जैसे 2r और r त्रिज्या वाले वृत्त।) त्रिभुजों में यह इसलिए काम करता है क्योंकि माध्यिका-विभाजन विद्यमान है — मध्यबिंदु प्रमेय समांतर रेखाएँ देती है और समांतर रेखाएँ सर्वांगसम प्रतियाँ। ध्यान दीजिए कि उलटे त्रिभुज अनिवार्य हैं — केवल सीधे त्रिभुजों से रिक्तियाँ कभी नहीं भरतीं।
यह कीजिए: 2 प्रतियों के विषय में सोचिए। √2 गुणक से मापित त्रिभुज का क्षेत्रफल दोगुना होता है, किंतु मूल की 2 प्रतियाँ सामान्यतः उसमें नहीं समातीं। स्वच्छ टाइलिंग देने वाले मापन गुणक पूर्ण संख्याएँ ही हैं।
प्र16.
*चित्र 6.43 — त्रिभुज का कितना भाग छायांकित है? (ΔABC में M, AB का मध्यबिंदु है, और AC तीन बराबर भागों में P तथा Q पर बँटा है; छायांकित भाग चतुर्भुज B, M, P, Q है।) चित्र 6.44 — वर्ग का कितना भाग छायांकित है? (वर्ग की प्रत्येक भुजा समद्विभाजित है, और चार रेखाएँ खींची गई हैं, प्रत्येक किसी शीर्ष को किसी असन्न भुजा के मध्यबिंदु से घूर्णन-क्रम में मिलाती है; छायांकित भाग उनसे घिरा छोटा चतुर्भुज है।)
उत्तर
चित्र 6.43: आधा भाग। चित्र 6.44: पाँचवाँ भाग।
चित्र 6.43। ΔABC में M, AB का मध्यबिंदु है, और P तथा Q, AC को AP = PQ = QC में त्रिभाजित करते हैं। छायांकित भाग चतुर्भुज BMPQ है। उसे विकर्ण BP से बाँटिए।
T = ar(ΔABC) लिखिए।
ΔABP: आधार AP = 1⁄3 AC, शीर्ष B वही जो आधार AC पर ΔABC का है ∴ ar(ΔABP) = 1⁄3 T
ΔAMP: आधार AM = ½ AB, और आधार AB पर शीर्ष P, ΔABP के साथ उभयनिष्ठ ∴ ar(ΔAMP) = ½ ar(ΔABP) = 1⁄6 T
ΔBMP = ΔABP − ΔAMP = 1⁄3T − 1⁄6T = 1⁄6 T
ΔBPQ: आधार PQ = 1⁄3 AC, शीर्ष B ∴ ar(ΔBPQ) = 1⁄3 T
चित्र 6.44। शीर्षों से असन्न भुजाओं के मध्यबिंदुओं तक खींची गई चारों रेखाएँ बीच में एक छोटा वर्ग घेरती हैं। बड़े वर्ग की भुजा 2 और क्षेत्रफल 4 लीजिए।
वर्ग के शीर्ष (0,0), (2,0), (2,2), (0,2) रखिए। चारों रेखाएँ हैं — (0,2) → (1,0) (2,2) → (0,1) (2,0) → (1,2) (0,0) → (2,1)
प्रत्येक आसन्न जोड़ी हल करने पर भीतरी शीर्ष मिलते हैं — (0.4, 0.8), (0.8, 1.6), (1.6, 1.2), (1.2, 0.4)
शूलेस (shoelace) नियम से घिरा क्षेत्रफल 4⁄5 है
भाग = 4/5⁄4 = 1⁄5
निर्देशांकों के बिना — चारों रेखाएँ वर्ग को बीच के वर्ग, चार त्रिभुजों और चार और त्रिभुजों में काटती हैं। पूरी आकृति को केंद्र के परितः 90° घुमाने पर वह स्वयं पर आ जाती है, अतः चारों बड़े समकोण त्रिभुज सर्वांगसम हैं और बचे चारों त्रिभुज भी परस्पर सर्वांगसम हैं। जोड़ने पर वही पाँचवाँ भाग मिलता है।
ऐसा क्यों होता है: दोनों उत्तर एक ही तथ्य से निकलते हैं — शीर्ष स्थिर हो तो त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार के अनुपात में बदलता है। इसलिए भुजाओं के भाग सीधे क्षेत्रफल के भाग बन जाते हैं और कहीं कोई लंबाई या कोण मापने की आवश्यकता नहीं पड़ती। चित्र 6.44 एक प्रसिद्ध विन्यास है — भीतरी वर्ग सदा बाहरी वर्ग का ठीक पाँचवाँ भाग होता है, वर्ग चाहे जितना बड़ा हो।
यह कीजिए: चित्र 6.44 में "मध्यबिंदु" के स्थान पर "एक-तिहाई पर स्थित बिंदु" लीजिए। भीतरी क्षेत्र तब भी वर्ग बनता है। वही निर्देशांक-गणना दोहराइए और देखिए कि कौन-सा भाग मिलता है।
प्र17.
चित्र 6.45 — आयत का कितना भाग वृत्तों द्वारा आच्छादित है? (एक पंक्ति में तीन बराबर वृत्त, प्रत्येक अपने पड़ोसियों को और आयत की दोनों लंबी भुजाओं को स्पर्श करता हुआ।) चित्र 6.46 — आयत का कितना भाग वृत्तों द्वारा आच्छादित है? (वही व्यवस्था चार वृत्तों के साथ।)
उत्तर
दोनों का उत्तर एक ही है: π/4 ≈ 0.785, अर्थात लगभग 78.5%।
प्रत्येक वृत्त का व्यास d हो, अतः त्रिज्या d⁄2।
चित्र 6.45 — तीन वृत्त। वृत्त ऊपरी और निचली भुजाओं को स्पर्श करते हैं, अतः आयत की ऊँचाई d है। वे एक पंक्ति में परस्पर स्पर्श करते हैं, अतः लंबाई 3d है।
आयत का क्षेत्रफल = 3d × d = 3d² वृत्तों का क्षेत्रफल = 3 × π(d⁄2)² = 3 × πd²⁄4 = 3πd²⁄4
भाग = 3πd²/4⁄3d² = π⁄4 ≈ 0.785
चित्र 6.46 — चार वृत्त। आयत = 4d × d = 4d² वृत्त = 4 × πd²⁄4 = πd² भाग = πd²⁄4d² = π⁄4 ≈ 0.785
ऐसा क्यों होता है: वृत्तों की संख्या कट जाती है। प्रत्येक वृत्त अपने d × d वर्ग के भीतर बैठा है और उसका π⁄4 भाग घेरता है; ऐसे n वर्ग साथ-साथ रखने से इस अनुपात में कोई अंतर नहीं आता। दूसरे शब्दों में, पूरी आकृति एक ही चित्र — "वर्ग में वृत्त" — की n प्रतियाँ भर है।
संकेत: π ≈ 22⁄7 लेने पर यह भाग 22⁄28 = 11⁄14 ≈ 0.7857 होता है। आयत का लगभग 21.5% भाग सदा व्यर्थ जाता है — इसीलिए गोल डिब्बे पेटी में भरने पर बीच में रिक्तियाँ बच ही जाती हैं।
प्र18.
उपरोक्त दी गई सूचनाओं का उपयोग करते हुए दर्शाई गई विधि से आप वृत्तों द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के विषय में अनुमान लगाइए। आप अपने अनुमान का विशिष्ट स्थितियों के लिए परीक्षण कीजिए — 10 वृत्त, 20 वृत्त, 50 वृत्त। आप अपने अनुमान को सिद्ध कीजिए।
उत्तर
अनुमान: वृत्त चाहे जितने हों, वे सदा आयत का ठीक π/4 भाग घेरते हैं — यह भाग वृत्तों की संख्या पर निर्भर नहीं करता।
वृत्तों की संख्या n
आयत
वृत्तों का कुल क्षेत्रफल
भाग
3
3d × d = 3d²
3 × πd²/4
π/4
4
4d × d = 4d²
4 × πd²/4
π/4
10
10d²
10 × πd²/4 = 2.5πd²
π/4
20
20d²
5πd²
π/4
50
50d²
12.5πd²
π/4
उपपत्ति।
एक पंक्ति में d व्यास वाले n बराबर वृत्त लीजिए, जिनमें प्रत्येक अपने पड़ोसियों और आयत की दोनों लंबी भुजाओं को स्पर्श करता है।
आयत की ऊँचाई = d आयत की लंबाई = nd आयत का क्षेत्रफल = nd × d = nd²
एक वृत्त का क्षेत्रफल = π(d⁄2)² = πd²⁄4 n वृत्तों का क्षेत्रफल = n × πd²⁄4 = nπd²⁄4
भाग = nπd²/4⁄nd² = π⁄4 (n और d² दोनों कट जाते हैं) ∎
ऐसा क्यों होता है: उत्तर n और d दोनों से स्वतंत्र है क्योंकि पूरी आकृति एक इकाई — वर्ग में अंतर्निहित वृत्त — को दोहराकर बनी है, और एक इकाई पर निकाला अनुपात कितनी भी प्रतियों के लिए वही रहता है। यह उपयोगी अभ्यास है — जब कोई राशि किसी प्राचल के बदलने पर भी न बदले, तो उस दोहराई गई इकाई को खोजिए जो इसका कारण है।
क्या आप जानते हैं? यदि पंक्तियाँ सीधी एक-दूसरे के ऊपर न रखकर आधी-आधी खिसकाकर रखी जाएँ तो वृत्त और सघन भरे जा सकते हैं — षट्भुजीय संकुलन π/(2√3) ≈ 0.9069 तक पहुँचता है, और थ्यू ने 1890 में सिद्ध किया कि इससे अच्छी कोई व्यवस्था नहीं है।
प्र19.
*चित्र (चित्र 6.47) में नौ एक समान आयतों को जोड़कर एक बड़ा आयत निर्मित किया गया है, जिसका क्षेत्रफल 72 वर्ग सेंटीमीटर है। प्रत्येक छोटे आयत का परिमाप ज्ञात कीजिए। (ऊपरी पंक्ति में चार और निचली पंक्ति में पाँच आयत साथ-साथ रखे हैं।)
उत्तर
प्रत्येक छोटे आयत का परिमाप = 18√10⁄5 = 3.6√10 ≈ 11.38 सेंटीमीटर।
दोनों पंक्तियों की चौड़ाई एक ही होनी चाहिए, अतः ऊपरी पंक्ति के चारों आयत लंबी भुजा पर लेटे हैं और निचली पंक्ति के पाँचों छोटी भुजा पर खड़े हैं।
छोटा आयत l लंबा और w चौड़ा हो, तथा बड़ा आयत W चौड़ा और H ऊँचा हो।
ऊपरी पंक्ति: 4 आयत साथ-साथ ⟹ प्रत्येक W⁄4 चौड़ा, ऊँचाई पंक्ति की ऊँचाई। निचली पंक्ति: 5 आयत साथ-साथ ⟹ प्रत्येक W⁄5 चौड़ा।
नौ आयत एक समान हैं और W⁄4 ≠ W⁄5, अतः दोनों पंक्तियाँ दो भिन्न भुजाओं का उपयोग करती हैं: l = W⁄4 और w = W⁄5 ऊपरी पंक्ति की ऊँचाई = w = W⁄5, निचली पंक्ति की ऊँचाई = l = W⁄4
H = W⁄5 + W⁄4 = 9W⁄20
क्षेत्रफल = W × H = W × 9W⁄20 = 9W²⁄20 = 72 W² = 160 ⟹ W = √160 = 4√10 से.मी.
स्वयं जाँचिए: एक छोटे आयत का क्षेत्रफल = l × w = √10 × 4√10⁄5 = 4 × 10⁄5 = 8 वर्ग से.मी.। नौ का योग 72 वर्ग से.मी. ✓ और भुजाओं का अनुपात l : w = 5 : 4 है, जैसा चित्र से लगता है।
ऐसा क्यों होता है: पूरी पहेली एक ही शर्त 4l = 5w से तय हो जाती है, जो इस बात से आती है कि दोनों पंक्तियों की चौड़ाई समान होनी चाहिए। इससे छोटे आयत का आकार (भुजाएँ 5 : 4 के अनुपात में) उसका माप जाने बिना ही निश्चित हो जाता है; फिर कुल क्षेत्रफल 72 वर्ग सेंटीमीटर माप तय कर देता है। उत्तर अपरिमेय इसलिए है कि 72, उस 180 का गुणज नहीं है जो पूर्णांक भुजाओं वाला 5 : 4 का आयत देता।
प्र20.
*दर्शाइए कि छायांकित नीले त्रिभुज और छायांकित लाल त्रिभुज का क्षेत्रफल समान है (चित्र 6.48: त्रिभुज के एक शीर्ष से सम्मुख भुजा के दोनों त्रिभाजन बिंदुओं तक रेखाएँ खींची गई हैं; नीला त्रिभुज तीनों भागों में सबसे बाईं ओर का और लाल सबसे दाईं ओर का है)। नीले त्रिभुज को कुछ टुकड़ों (भागों) में काटने और उन भागों को इस प्रकार से व्यवस्थित करने की विधि ढूँढ़िए, जिससे लाल त्रिभुज आच्छादित हो जाए।
उत्तर
त्रिभुज ABC लीजिए, जिसका आधार BC, D और E पर त्रिभाजित है, अतः BD = DE = EC, और शीर्षचर AD तथा AE खींचे गए हैं। नीला त्रिभुज ABD है और लाल AEC।
BD = DE = EC = 1⁄3 BC (दिया है: त्रिभाजन बिंदु)
ΔABD और ΔAEC दोनों का आधार रेखा BC पर है, और दोनों का शीर्ष A उभयनिष्ठ है। ∴ दोनों की ऊँचाई h समान है, जो A से BC की दूरी है।
ar(ΔABD) = ½ · BD · h ar(ΔAEC) = ½ · EC · h BD = EC ⟹ ar(ΔABD) = ar(ΔAEC) ∎
(प्रत्येक ΔABC का एक-तिहाई है, अतः तीनों भाग बराबर हैं।)
एक को दूसरे में काटना। दोनों त्रिभुजों के आधार एक ही रेखा पर बराबर हैं और शीर्ष उभयनिष्ठ है, किंतु वे प्रायः सर्वांगसम नहीं होते — नीला लंबा-पतला हो सकता है और लाल चौड़ा-नाटा। यहाँ तीन चरणों का विच्छेदन है।
चरण 1. ΔABD को उसकी मध्य-रेखा पर काटिए — AB और AD के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड। ऊपर के छोटे त्रिभुज को AD के मध्यबिंदु के परितः 180° घुमाइए। दोनों टुकड़े मिलकर BD आधार और h/2 ऊँचाई का समांतर चतुर्भुज बना देते हैं।
चरण 2. ΔAEC के साथ भी यही कीजिए: वह EC = BD आधार और h/2 ऊँचाई का समांतर चतुर्भुज बन जाता है।
चरण 3. दोनों समांतर चतुर्भुजों का आधार और ऊँचाई समान है और वे समांतर रेखाओं की एक ही जोड़ी के मध्य हैं, अतः एक दूसरे की कतरन है। पहले समांतर चतुर्भुज पर एक सीधी कटान करके कटे टुकड़े को सरका देने पर दूसरा बन जाता है। (यदि झुकाव बहुत भिन्न हो तो यह सरकाव — "सीढ़ी" कटान — कुछ बार दोहराइए।)
अतः सामान्य स्थिति में 3 टुकड़े पर्याप्त हैं।
ऐसा क्यों होता है: सब कुछ उसी सिद्धांत पर टिका है — समान आधार और समान समांतर रेखाओं के मध्य बने त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान होते हैं, क्योंकि क्षेत्रफल केवल आधार और ऊँचाई पर निर्भर करता है। और विच्छेदन इसलिए संभव है कि समतल में समान क्षेत्रफल होना पर्याप्त है (वैलेस–बोल्याई–गेरवियन प्रमेय); मध्य-रेखा-और-आधा-घूर्णन वाली चाल मानक पहला चरण है, क्योंकि वह किसी भी त्रिभुज को आधी ऊँचाई के समांतर चतुर्भुज में बदल देती है।
प्र21.
*चित्र (चित्र 6.49) में एक वर्ग के भीतर एक चतुर्थांश वृत्त दर्शाया गया है। इसका केंद्र एक शीर्ष पर है और यह दो आसन्न शीर्षों से होकर गुजरता है। दो आसन्न भुजाओं पर व्यास के रूप में दो अर्द्धवृत्त हैं। ये छायांकित क्षेत्र A और B बनाते हैं। दर्शाइए कि A और B के पास समान क्षेत्र है।
उत्तर
वर्ग की भुजा a लीजिए; चतुर्थांश वृत्त का केंद्र शीर्ष O पर है और त्रिज्या a। दोनों अर्द्धवृत्त O से जाने वाली दो भुजाओं पर, भीतर की ओर, व्यास a लेकर बने हैं।
दोनों अर्द्धवृत्ताकार चक्रिकाओं को S₁ और S₂ कहिए।
चतुर्थांश चक्रिका Q का क्षेत्रफल = ¼ πa² प्रत्येक अर्द्धवृत्ताकार चक्रिका का क्षेत्रफल = ½ π(a⁄2)² = πa²⁄8 क्षेत्रफल(S₁) + क्षेत्रफल(S₂) = πa²⁄8 + πa²⁄8 = πa²⁄4 = क्षेत्रफल(Q) … (1)
दोनों अर्द्धवृत्ताकार चक्रिकाएँ पूरी तरह चतुर्थांश चक्रिका के भीतर हैं। (S₁ का प्रत्येक बिंदु O से अधिकतम a⁄2 + a⁄2 = a दूर है, और S₂ के लिए भी यही।) क्षेत्र A वह है जहाँ दोनों अर्द्धवृत्ताकार चक्रिकाएँ एक-दूसरे पर चढ़ती हैं; क्षेत्र B चतुर्थांश चक्रिका का वह भाग है जिसे उनमें से कोई नहीं ढकता।
किन्हीं दो क्षेत्रों के लिए: (S₁ ∪ S₂) + (S₁ ∩ S₂) = S₁ + S₂ यहाँ S₁ ∩ S₂ = A, अतः क्षेत्रफल(S₁ ∪ S₂) + A = πa²⁄4 … (2)
तथा S₁ ∪ S₂, Q के भीतर है और शेष भाग B है, अतः क्षेत्रफल(S₁ ∪ S₂) + B = क्षेत्रफल(Q) = πa²⁄4 … (3)
(2) और (3) की तुलना से: A = B ∎
A दोनों अर्द्धवृत्ताकार चक्रिकाओं का उभयनिष्ठ भाग है; B चतुर्थांश चक्रिका का बिना ढका भाग। चूँकि दोनों अर्द्धवृत्तों का कुल क्षेत्रफल ठीक चतुर्थांश चक्रिका जितना है, A और B बराबर होने ही चाहिए।
ऐसा क्यों होता है: इसे संभव बनाने वाला संयोग (1) है — आधे व्यास पर बने दो अर्द्धवृत्तों का कुल क्षेत्रफल पूरी त्रिज्या पर बने चतुर्थांश वृत्त के ठीक बराबर होता है, क्योंकि क्षेत्रफल लंबाई के वर्ग के अनुपात में बदलता है — व्यास आधा करने पर क्षेत्रफल चौथाई हो जाता है, और "अर्द्धवृत्त बनाम चतुर्थांश" वाला गुणक इसे संतुलित कर देता है। कुल बराबर होते ही जो एक क्षेत्र दो बार गिनता है (A), दूसरा उतना ही छोड़ देता है (B)। न कोई समाकलन चाहिए, न π का कोई मान — π पूरी तरह कट जाता है।
प्र22.
*चित्र 6.50 में 2 इकाई भुजा वाले वर्ग के भीतर चार अर्द्धवृत्त खींचे गए हैं। इन अर्द्धवृत्तों के केंद्र, भुजाओं के मध्यबिंदु हैं। ये चार पंखुड़ियों वाला एक पुष्प बनाते हैं (जिन्हें नीले रंग से दर्शाया गया है)। इस पुष्प का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर
परिमाप = 4π ≈ 12.57 इकाई। क्षेत्रफल = 2π − 4 ≈ 2.28 वर्ग इकाई।
वर्ग के शीर्ष (0,0), (2,0), (2,2), (0,2) रखिए। चारों अर्द्धवृत्तों के केंद्र (1,0), (2,1), (1,2), (0,1) और त्रिज्या 1 है, और वे भीतर की ओर खिंचे हैं।
केंद्र (1,0), त्रिज्या 1 वाला वृत्त: (x−1)² + y² = 1 ⟹ x² + y² = 2x केंद्र (0,1), त्रिज्या 1 वाला वृत्त: x² + (y−1)² = 1 ⟹ x² + y² = 2y
वे वहाँ मिलते हैं जहाँ 2x = 2y और x² + y² = 2x, अर्थात (0,0) और (1,1) पर।
अतः प्रत्येक पंखुड़ी वर्ग के किसी शीर्ष से उसके केंद्र तक जाती है और दो चापों से घिरी होती है।
परिमाप। केंद्र (1,0) वाले वृत्त की (0,0) से (1,1) तक की चाप लीजिए।
केंद्र से (0,0) तक का सदिश = (−1, 0) केंद्र से (1,1) तक का सदिश = (0, 1) इनके मध्य कोण = 90°
प्रत्येक चाप = ¼ × 2π(1) = π⁄2 प्रत्येक पंखुड़ी में 2 चापें, और 4 पंखुड़ियाँ ⟹ 8 चापें
ऐसा क्यों होता है: चारों अर्द्धवृत्त वर्ग के केंद्र से होकर जाते हैं, क्योंकि किसी भुजा के मध्यबिंदु से केंद्र की दूरी 1 है — ठीक त्रिज्या जितनी। इसी से पंखुड़ियाँ एक ही बिंदु पर मिलती हैं और प्रत्येक चाप ठीक चतुर्थांश बनती है। पुष्प वर्ग के 4 वर्ग इकाई में से 2π − 4 ≈ 2.28, अर्थात लगभग 57% भाग घेरता है।
स्वयं जाँचिए: चारों अर्द्धवृत्ताकार चक्रिकाओं का कुल क्षेत्रफल 4 × ½π(1)² = 2π है। वर्ग का क्षेत्रफल 4 है। वर्ग का जो भाग ठीक दो बार ढका है वही चारों पंखुड़ियाँ हैं, और 2π − 4 ठीक वही "अतिरेक" है — उसी उत्तर तक पहुँचने का एक सुंदर दूसरा रास्ता।
प्र23.
*चित्र 6.51 में हम दो सकेंद्रिय वृत्तों में देखते हैं कि उनका एक ही केंद्र O है। बड़े वृत्त की एक जीवा BC खींची गई है जो छोटे वृत्त को बिंदु A पर स्पर्श करती है। BC की लंबाई l है। दर्शाइए कि दोनों वृत्तों के मध्य स्थित हरे भाग का क्षेत्रफल ¼πl² है।
उत्तर
बाहरी त्रिज्या R और भीतरी त्रिज्या r लीजिए। हरा भाग दोनों के मध्य का वलय है।
BC छोटे वृत्त को A पर स्पर्श करती है, अतः OA ⊥ BC और OA = r। अतः OA बड़े वृत्त की जीवा BC पर केंद्र O से डाला गया लंब है, और केंद्र से डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है: AB = AC = l⁄2
वलय का क्षेत्रफल = πR² − πr² = π(R² − r²) = π · l²⁄4 = ¼ πl² ∎
स्पर्श करती जीवा r और l/2 भुजाओं तथा R कर्ण वाला समकोण त्रिभुज बनाती है, अतः R² − r² केवल l से तय हो जाता है।
ऐसा क्यों होता है: उत्तर में अलग-अलग त्रिज्याएँ आती ही नहीं — केवल उनके वर्गों का अंतर आता है, और वही समकोण त्रिभुज देता है। अतः समान स्पर्श-जीवा लंबाई वाले सभी सकेंद्रिय वृत्त-युग्मों के वलयों का क्षेत्रफल समान होता है: बहुत बड़ी त्रिज्या का पतला वलय और छोटी त्रिज्या का मोटा वलय बराबर हो सकते हैं, बशर्ते भीतरी वृत्त को छूती जीवा की लंबाई वही हो। इसका यह अर्थ भी है कि उत्तर उस वृत्त का क्षेत्रफल है जिसका व्यास l हो।
प्र24.
*चित्र 6.52 में समकोण त्रिभुज की भुजाओं पर अर्द्धवृत्त खींचे गए हैं, जैसा आकृति में दर्शाया गया है। दर्शाइए कि क्षेत्रफल (A) + क्षेत्रफल (B) = क्षेत्रफल (C) है। (A और B समकोण-भुजाओं पर बने अर्द्धवृत्तों और कर्ण पर बने अर्द्धवृत्त के मध्य की चंद्राकार आकृतियाँ हैं; C त्रिभुज स्वयं है।)
उत्तर
यह हिप्पोक्रेटीज़ की चंद्रकलाओं नाम से प्रसिद्ध शास्त्रीय परिणाम है। समकोण Q पर मानिए, समकोण-भुजाएँ QP = b, QR = a, और कर्ण PR = c, अतः a² + b² = c²।
तीन अर्द्धवृत्त खींचे गए हैं — QP और QR पर बाहर की ओर, तथा PR पर उसी ओर जिस ओर Q है। ध्यान दीजिए कि तीसरा अर्द्धवृत्त Q से होकर जाता है, क्योंकि ∠PQR = 90° है और अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।
PR पर बनी अर्द्धवृत्ताकार चक्रिका (जिसमें Q है) इनसे बनी है — त्रिभुज C, तथा जीवा QP द्वारा काटा गया वृत्तखंड S₁, तथा जीवा QR द्वारा काटा गया वृत्तखंड S₂।
½π(c⁄2)² = C + S₁ + S₂ … (1)
चंद्रकला A = (QP पर बनी अर्द्धचक्रिका) − S₁ = ½π(b⁄2)² − S₁ चंद्रकला B = (QR पर बनी अर्द्धचक्रिका) − S₂ = ½π(a⁄2)² − S₂
ऐसा क्यों होता है: दो तथ्य पूरा काम करते हैं। पहला, तीनों अर्द्धवृत्तों के क्षेत्रफल a², b², c² के अनुक्रमानुपाती हैं (एक ही अचर π/8 के साथ), अतः पाइथागोरस संबंध सीधे उतर आता है — कर्ण पर बना अर्द्धवृत्त = दोनों समकोण-भुजाओं पर बने अर्द्धवृत्तों का योग। दूसरा, कर्ण पर बना अर्द्धवृत्त ठीक समकोण-शीर्ष से होकर जाता है, अतः उसे त्रिभुज और उन दो वृत्तखंडों में स्वच्छ रूप से बाँटा जा सकता है जिन्हें चंद्रकलाओं को छोड़ना पड़ता है। दोनों पक्षों से वही दो वृत्तखंड घटाने पर सर्वसमिका बच जाती है।
क्या आप जानते हैं? कीऑस के हिप्पोक्रेटीज़ (लगभग 440 सामान्य संवत पूर्व) ने इसे वृत्त का वर्गीकरण करने के प्रयास में खोजा था। इसकी विशेषता यह है कि उत्तर C पूरी तरह सीधी भुजाओं वाला क्षेत्रफल है, जबकि A और B केवल चापों से घिरे हैं — हर π कट जाता है। उन्हें आशा थी कि इससे वृत्त का भी वर्गीकरण हो जाएगा; ऐसा नहीं हुआ, जैसा लिंडेमान ने 1882 में अंततः सिद्ध किया।
प्र25.
*चित्र 6.53 में दो वृत्त दर्शाए गए हैं जो एक-दूसरे के केंद्रों से होकर गुजरते हैं। दोनों वृत्तों द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल उभयनिष्ठ त्रिज्या r के पदों में ज्ञात कीजिए। (छायांकित भाग वह लेंस-आकार का उभयनिष्ठ क्षेत्र है जिसके शीर्ष C और D हैं।)
उत्तर
छायांकित उभयनिष्ठ क्षेत्र का क्षेत्रफल = r²(2π⁄3 − √3⁄2) ≈ 1.228 r²।
केंद्र A और B मानिए, अतः AB = r, और वृत्त C तथा D पर मिलते हैं।
AC = BC = r (त्रिज्याएँ) और AB = r ⟹ ΔABC समबाहु है ∴ ∠CAB = 60°, और इसी तर्क से ∠DAB = 60° ∴ ∠CAD = 120° (तथा इसी प्रकार ∠CBD = 120°)
लेंस दो एक जैसे वृत्तखंडों से बना है — प्रत्येक वृत्त से जीवा CD द्वारा काटा गया एक, और प्रत्येक का केंद्रीय कोण 120°।
A पर 120° कोण वाला त्रिज्यखंड = πr² × 120⁄360 = πr²⁄3
त्रिभुज ACD: AC = AD = r और उनके मध्य 120° CD = 2 · r sin 60° = √3 r, और A से ऊँचाई r cos 60° = r⁄2 ar(ΔACD) = ½ × √3 r × r⁄2 = √3⁄4 r²
संकेत: यदि "दोनों वृत्तों द्वारा घिरे क्षेत्र" का अर्थ बाहर से घिरी पूरी आकृति लिया जाए (वही आकृति जिसका परिमाप उदाहरण 1 में 8πr⁄3 निकला था), तो उसका क्षेत्रफल —
ऐसा क्यों होता है: सब कुछ AB = r से निकलता है, जो दोनों त्रिभुज ABC और ABD को समबाहु बना देता है और हर कोण को 60° या 120° पर बाँध देता है। इसीलिए उत्तर में √3 आता है — वह समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है जो प्रकट हो रही है। इसी विन्यास ने अध्याय के उदाहरण 1 में 120° की चापें दी थीं, और इसीलिए वहाँ परिमाप 8πr⁄3 निकला था।
प्र26.
*चित्र 6.54 में हम एक आयत के भीतर तीन त्रिभुज देख रहे हैं। इन त्रिभुजों का क्षेत्रफल A, B, C अंकित है। दर्शाइए कि आयत का क्षेत्रफल 2(A + C)(B + C)/C है।
उत्तर
निर्देशांक लीजिए। आयत की चौड़ाई W और ऊँचाई H हो, और नीचे-बाएँ शीर्ष O = (0, 0) हो। ऊपरी भुजा पर अंकित बिंदु (p, H), दाईं भुजा पर अंकित बिंदु (W, q), और M = (p, q) वह भीतरी बिंदु हो जहाँ तीनों त्रिभुज मिलते हैं।
त्रिभुज A के शीर्ष O, (p, H), M हैं। (p, H) से M तक की भुजा ऊर्ध्वाधर है और H − q लंबी है, तथा O उससे p दूर है। A = ½ p (H − q)
त्रिभुज C के शीर्ष (p, H), (W, q), M हैं — M पर समकोण। C = ½ (H − q)(W − p)
त्रिभुज B के शीर्ष O, M, (W, q) हैं। M से (W, q) तक की भुजा क्षैतिज है, W − p लंबी, ऊँचाई q पर; O उससे q नीचे है। B = ½ (W − p) q
A + C = ½ p(H − q) + ½ (H − q)(W − p) = ½ (H − q)[p + W − p] = ½ W (H − q)
B + C = ½ (W − p) q + ½ (H − q)(W − p) = ½ (W − p)[q + H − q] = ½ H (W − p)
(A + C)(B + C) = ¼ W H (H − q)(W − p) = ¼ W H × 2C [क्योंकि (H − q)(W − p) = 2C] = ½ W H · C
∴ WH = 2(A + C)(B + C)⁄C ∎
ऐसा क्यों होता है: ये दोनों योग चित्र में छिपे "आधे आयत" हैं। A + C ठीक उस आयत का आधा है जिसकी चौड़ाई W और ऊँचाई H − q है (दाईं भुजा पर अंकित बिंदु के ऊपर की पट्टी), और B + C उस आयत का आधा जिसकी चौड़ाई W − p और ऊँचाई H है। दोनों का गुणनफल लेने पर दोनों पट्टियों का गुणनफल आता है, और बचा हुआ गुणक (H − q)(W − p) 2C के अतिरिक्त कुछ नहीं — अतः C से भाग देने पर वह हट जाता है और पूरा आयत बच जाता है। शिक्षा वही है जो प्रश्नावली 6.2 के प्र.10 में थी — गणना से पहले त्रिभुजों को जोड़ लीजिए।
स्वयं जाँचिए: W = 4, H = 3, p = 3, q = 2 लीजिए। तब A = ½·3·1 = 1.5, C = ½·1·1 = 0.5, B = ½·1·2 = 1। सूत्र देता है 2(1.5+0.5)(1+0.5)/0.5 = 2 × 2 × 1.5 / 0.5 = 12 = 4 × 3 ✓
प्र27.
*चित्र में (चित्र 6.55) हम एक-चौथाई वृत्त, एक अर्द्धवृत्त और एक त्रिभुज द्वारा निर्मित दो छायांकित क्षेत्र देखते हैं। दर्शाइए कि दोनों छायांकित क्षेत्रों का क्षेत्रफल समान है। (O, व्यास AC वाले अर्द्धवृत्त का केंद्र है; B उस अर्द्धवृत्त पर O के ठीक ऊपर का बिंदु है; D, AB का मध्यबिंदु है और AB को व्यास मानकर O से दूर की ओर एक अर्द्धवृत्त खींचा गया है। एक छायांकित क्षेत्र उस अर्द्धवृत्त और बड़े वृत्त की चाप AB के मध्य की चंद्राकार आकृति है; दूसरा त्रिभुज AOB है।)
उत्तर
यह भी हिप्पोक्रेटीज़ की एक चंद्रकला है। OA = OB = OC = r लीजिए।
B, O के ठीक ऊपर है, अतः OB ⊥ AC और ∠AOB = 90°। बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय से AB = √(r² + r²) = r√2
चतुर्थांश चक्रिका AOB (केंद्र O, त्रिज्या r, कोण 90°): = ¼ πr²
AB पर बनी अर्द्धवृत्ताकार चक्रिका (त्रिज्या AB⁄2 = r√2⁄2): = ½ π(r√2⁄2)² = ½ π · 2r²⁄4 = πr²⁄4
दोनों बराबर हैं! … (1)
अब चतुर्थांश चक्रिका को जीवा AB से बाँटिए —
चतुर्थांश चक्रिका AOB = त्रिभुज AOB + वृत्तखंड S जहाँ S जीवा AB और चाप AB के मध्य का भाग है। πr²⁄4 = ΔAOB + S … (2)
चंद्रकला वह है जो AB पर बनी अर्द्धचक्रिका में से वही वृत्तखंड S हटाने पर बचती है: चंद्रकला = πr²⁄4 − S … (3)
(2) और (3) की तुलना से: चंद्रकला = ΔAOB
और ΔAOB = ½ × OA × OB = ½ r · r = r²⁄2
अतः दोनों छायांकित क्षेत्रों का क्षेत्रफल r²⁄2 है। ∎
AB पर बना अर्द्धवृत्त और चतुर्थांश चक्रिका AOB क्षेत्रफल में ठीक बराबर हैं, अतः दोनों में से वही वृत्तखंड हटाने पर चंद्रकला त्रिभुज के बराबर बचती है।
ऐसा क्यों होता है: पंक्ति (1) ही पूरी युक्ति है, और वह एक मापन-तथ्य है। AB, OA का √2 गुना है, अतः AB पर बने अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल OA पर बने अर्द्धवृत्त से 2 गुना होगा — किंतु अर्द्धवृत्त चतुर्थांश का दोगुना होता है, और 2 के ये दोनों गुणक एक-दूसरे को काट देते हैं। जैसे ही दो वक्र क्षेत्रों का क्षेत्रफल बराबर हो जाता है, उनमें से एक ही साझा भाग घटाने पर शेष भी बराबर रहते हैं — और उनमें से एक शेष सीधी भुजाओं वाला निकल आता है। प्र.24 की भाँति यहाँ भी हर π कट जाता है।
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