कक्षा ९ गणित अध्याय 6 पाठ्य प्रश्न के लिए एनसीईआरटी समाधान

हाँ, यह अनुपात प्रत्येक वृत्त के लिए समान होता है — इसी कारण π नामक अचर का अस्तित्व है।

यही तर्क प्रत्येक वर्ग के लिए 4 : 1 और प्रत्येक समबाहु त्रिभुज के लिए 3 : 1 देता है। अंतर केवल इतना है कि वर्ग में आप भुजाएँ गिनकर उत्तर देख सकते हैं; वृत्त में नहीं देख सकते, और अनुपात का मान खोजना पड़ता है।

मान π = 3.14159265… है — ऐसी संख्या जिसका दशमलव प्रसार न कभी समाप्त होता है और न कभी दोहराता है। इसका आकलन दो ईमानदार विधियों से हो सकता है — मापन से, या ज्यामितीय तर्क से।

• मापन द्वारा। किसी बेलन पर धागा कई बार लपेटिए, खोलकर कुल लंबाई मापिए और (लपेटों की संख्या × व्यास) से भाग दीजिए। एक बार के स्थान पर 20 बार लपेटने से आपकी मापन-त्रुटि 20 गुना घट जाती है — पुस्तक के घरेलू प्रयोग में 20 लपेट इसीलिए हैं।
• शुद्ध ज्यामिति द्वारा। वृत्त को दो बहुभुजों के मध्य समाविष्ट कीजिए। 1 त्रिज्या वाले वृत्त के अंतर्गत बने नियमित षट्भुज का परिमाप 6 होता है और वृत्त उससे लंबा है, अतः π = C/D > 6/2 = 3। परिगत षट्भुज से ऊपरी सीमा मिलती है। आर्किमिडीज ने इसे 96-भुजा वाले बहुभुजों तक ले जाकर 3 ¹⁰⁄₇₁ < π < 3 ¹⁄₇ सिद्ध किया।

मान 3 और 4 के मध्य आना चाहिए, और थोड़ी सावधानी से 3.1 और 3.2 के मध्य।

हाँ — वृत्त को ऐसे बहुभुजों के मध्य समाविष्ट करके, जिनके परिमाप ठीक-ठीक निकाले जा सकें।

1 त्रिज्या वाला वृत्त लीजिए, अतः D = 2 और C = 2π। इसके अंतर्गत नियमित षट्भुज बनाइए। केंद्र को दो आसन्न शीर्षों से मिलाने पर बने त्रिभुज की दो भुजाएँ 1 हैं और उनके मध्य कोण 360°/6 = 60° है; अतः त्रिभुज समबाहु है और षट्भुज की प्रत्येक भुजा 1 है।

अब परिगत नियमित षट्भुज बनाइए (प्रत्येक भुजा वृत्त को स्पर्श करती है)। आधी भुजा, स्पर्श-बिंदु तक की त्रिज्या और शीर्ष तक की रेखा मिलकर 30° कोण वाला समकोण त्रिभुज बनाते हैं, और बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय से आधी भुजा = 1/√3 है। अतः प्रत्येक भुजा 2/√3 है और