प्र1.
ΔABD और ΔACD समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुज हैं, आप आश्चर्यचकित होंगे कि एक सरल रेखा से ΔABD को ऐसे दो या अधिक टुकड़ों में विभाजित कर सकते हैं जो ΔACD को संपूर्णतया ढक ले? आपके विचार में क्या यह संभव है?
उत्तर
हाँ, यह संभव है — और यहाँ केवल एक सीधी कटान पर्याप्त है।
AD माध्यिका है, अतः BD = DC और दोनों त्रिभुजों के
आधार समान तथा A से ऊँचाई h समान है।
ar(ΔABD) = ½ · BD · h = ½ · DC · h = ar(ΔACD)
आधार समान तथा A से ऊँचाई h समान है।
ar(ΔABD) = ½ · BD · h = ½ · DC · h = ar(ΔACD)
ऐसे विच्छेदन के लिए क्षेत्रफल का समान होना आवश्यक है, किंतु यह स्पष्ट नहीं कि पर्याप्त भी है। यहाँ है, और विधि छोटी है —
- मान लीजिए M, AB का मध्यबिंदु है। ΔABD को MD के अनुदिश काटिए।
- टुकड़े MBD को M के परितः 180° घुमाइए। तब B, A पर आ जाता है, और चूँकि MD ∥ AC तथा MD = ½AC (मध्यबिंदु प्रमेय), टुकड़ा ठीक ΔACD के भीतर बैठ जाता है।
- दोनों टुकड़े अब ΔACD को बिना रिक्ति और बिना अतिव्यापन ढक लेते हैं।
ऐसा क्यों होता है: ΔABD और ΔACD सामान्यतः सर्वांगसम नहीं होते — उनके आकार भिन्न होते हैं — अतः कोई एक दृढ़ गति एक को दूसरे पर नहीं ले जा सकती। किंतु काटना हमें छूट देता है — किसी भाग की दृढ़ गति आकृति को पुनर्व्यवस्थित कर देती है और क्षेत्रफल अपरिवर्तित रखती है। काट-जोड़ में क्षेत्रफल बचा रहता है; सर्वांगसमता कहीं अधिक कड़ी शर्त है।
क्या आप जानते हैं? व्यापक तथ्य — समान क्षेत्रफल वाले किन्हीं दो बहुभुजों को परिमित टुकड़ों में काटकर एक-दूसरे में जोड़ा जा सकता है — वैलेस–बोल्याई–गेरवियन प्रमेय कहलाता है। यह समतल की विशेषता है: त्रिविमीय स्थिति में यह कथन असत्य है (डेह्न, 1900)।