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कक्षा ९ गणित अध्याय 6 सोचिए और विचार कीजिए के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-08

प्र1.
मान लीजिए कि दो समान क्षेत्रफलों वाले बहुभुज P और Q दिए गए हैं। क्या उनमें से एक को सीधी रेखा से दो या अधिक भागों में इस प्रकार बाँटना संभव है और फिर उन कटे हुए भागों को इस प्रकार से व्यवस्थित करना संभव है कि वे सभी भाग मिलकर दूसरे बहुभुज को भी पूरा ढक लें? अपने चारों ओर की आकृतियों के उदाहरण सोचिए — 1. समान क्षेत्रफल वाले वर्ग और गैर-वर्गाकार आयत, 2. भिन्न-भिन्न आकृति वाले दो त्रिभुज जिनका क्षेत्रफल समान है। 3. समान क्षेत्रफल वाला एक त्रिभुज और एक वर्ग। इसे आप अपनी कल्पना से तैयार कीजिए। आप इसके विषय में अपनी परिकल्पना तैयार कीजिए।
उत्तर

परिकल्पना: हाँ — क्षेत्रफल का समान होना पर्याप्त है। समान क्षेत्रफल वाले किन्हीं दो बहुभुजों को परिमित टुकड़ों में काटकर एक-दूसरे में जोड़ा जा सकता है। तीनों सुझाई गई स्थितियाँ इस प्रकार बनती हैं।

1. वर्ग ↔ गैर-वर्गाकार आयत। 4 × 4 का वर्ग और 8 × 2 का आयत लीजिए; दोनों का क्षेत्रफल 16 है। आयत को लंबाई के आर-पार आधा काटिए, दो 4 × 2 के टुकड़े मिलेंगे; उन्हें एक के ऊपर एक रखिए और 4 × 4 का वर्ग बन जाएगा। दो टुकड़े।

कठिन जोड़े, जैसे 16 × 1 और 4 × 4, के लिए "सीढ़ी" कटान लगती है — आयत पर सीढ़ीनुमा कटान करके ऊपरी भाग सरका दीजिए। सामान्य रूप से आयत को उसी क्षेत्रफल के वर्ग में बदला जा सकता है — और ध्यान दीजिए कि अनुभाग 6.9 की बौधायन-रचना यही काम पैमाने और परकार से करती है।

2. समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुज। पहले प्रत्येक त्रिभुज को समांतर चतुर्भुज में बदलिए — दो भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाली रेखा पर काटिए और ऊपर के छोटे त्रिभुज को 180° घुमा दीजिए। अब दोनों समान क्षेत्रफल के समांतर चतुर्भुज हैं। दोनों को एक ही आधार वाले आयत में कतरिए, तब दोनों आयतों की दोनों विमाएँ समान हो जाएँगी।

3. त्रिभुज ↔ वर्ग। दोनों पिछली विधियाँ जोड़ दीजिए — त्रिभुज → समांतर चतुर्भुज → आयत → वर्ग। प्रत्येक चरण में कुछ ही टुकड़े लगते हैं।

ऐसा क्यों होता है: पूरी विधि तीन चालों की शृंखला है और तीनों क्षेत्रफल सुरक्षित रखती हैं — काटो और घुमाओ, कतरन, और आयत-से-वर्ग वाली सरकाव-रचना। चूँकि प्रत्येक बहुभुज त्रिभुजों में काटा जा सकता है और प्रत्येक त्रिभुज इस शृंखला से गुज़रकर उसी क्षेत्रफल के वर्ग में बदल सकता है, इसलिए हर बहुभुज को "अपने क्षेत्रफल के वर्ग" में बदला जा सकता है। P के साथ यह कीजिए, Q के साथ भी — दोनों वर्ग समान होंगे, अतः P → वर्ग → Q संभव है।
क्या आप जानते हैं? आपकी परिकल्पना वास्तविक प्रमेय है — वैलेस–बोल्याई–गेरवियन प्रमेय (1807–1835)। हिल्बर्ट ने 1900 में यही प्रश्न ठोस पिंडों के लिए पूछा और मैक्स डेह्न ने उसी वर्ष उत्तर दे दिया — नहीं: समान आयतन वाले सम चतुष्फलक और घन को एक-दूसरे में काटा-जोड़ा नहीं जा सकता।
प्र2.
40 इकाई परिमाप वाले विभिन्न आयतों के विषय में विचार कीजिए (भुजाओं का पूर्णांक होना आवश्यक नहीं है)। 1. इस प्रकार के कितने आयत हो सकते हैं? 2. इनमें से कोई ऐसा है जिसका क्षेत्रफल सबसे अधिक हो? इसकी विमाएँ क्या होंगी? 3. क्या इन सभी आयतों में से ऐसा कोई एक आयत है जिसका क्षेत्रफल सबसे कम है? उसकी विमाएँ क्या होंगी? क्या इस प्रकार का कोई भी उत्तर आपको आश्चर्यचकित करता है?
उत्तर

1. अनंत। 2. हाँ — 10 × 10 का वर्ग, क्षेत्रफल 100 वर्ग इकाई। 3. नहीं — न्यूनतम क्षेत्रफल वाला कोई आयत है ही नहीं।

परिमाप 40 ⟹ 2(x + y) = 40 ⟹ x + y = 20 ⟹ y = 20 − x
0 < x < 20 का प्रत्येक x एक आयत देता है, अतः अनंत आयत हैं।

क्षेत्रफल A(x) = x(20 − x) = 20x − x²

अधिकतम क्षेत्रफल। वर्ग पूरा कीजिए —

A = 20x − x²
= −(x² − 20x)
= −(x² − 20x + 100) + 100
= 100 − (x − 10)²

(x − 10)² सदा ≥ 0 है, और शून्य केवल x = 10 पर
∴ A ≤ 100, और A = 100 ठीक तब जब x = 10, y = 10

अतः अधिकतम क्षेत्रफल 100 वर्ग इकाई है, जो 10 × 10 वर्ग से मिलता है।

xy = 20 − xक्षेत्रफल
11919
51575
91199
1010100
15575
19.90.11.99
19.990.010.1999

न्यूनतम क्षेत्रफल। ऐसा कोई नहीं है। जैसे-जैसे x, 20 की ओर सरकता है, आयत लंबी-पतली किरच बनता जाता है और क्षेत्रफल 0 की ओर गिरता है — पर 0 तक कभी नहीं पहुँचता, क्योंकि x = 20 पर आयत बचता ही नहीं। आप जो भी आयत बताएँगे, x = 19.999… उससे भी छोटे क्षेत्रफल वाला आयत दे देगा।

ऐसा क्यों होता है: आश्चर्य दोनों ओर है। परिमाप स्थिर करने से क्षेत्रफल स्थिर नहीं होता — यही बात "भुजाएँ समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल तय नहीं करतीं" वाले प्रश्न में भी थी। और अधिकतम सबसे सममित आकृति पर प्राप्त होता है, जबकि न्यूनतम केवल निकट पहुँचा जाता है, प्राप्त कभी नहीं होता — क्योंकि x के मान्य मानों का समुच्चय खुला अंतराल (0, 20) है और खुले अंतराल में बैठने के लिए कोई सिरा नहीं होता।
संकेत: "दिए गए परिमाप वाली सभी आकृतियों में सबसे सममित आकृति का क्षेत्रफल सबसे अधिक होता है" एक वास्तविक सिद्धांत है। सभी आयतों में यह वर्ग चुनता है; सभी समतल आकृतियों में यह वृत्त चुनता है। यही समपरिमापी गुण है — और इसीलिए साबुन का बुलबुला गोल होता है।
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