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कक्षा ९ गणित अध्याय 7 प्रश्नावली 7.2 के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-08

प्र1.
एक शिक्षक विभिन्न रंगों की मिठाइयों के एक बड़े थैले को आपस में मिलाती है और उसमें से यादृच्छिक रूप से 30 मिठाइयों के एक प्रतिदर्श का चयन करती है। वह प्रत्येक रंग की मिठाइयों की गिनती करती है, जिनकी संख्या इस प्रकार है— 10 लाल मिठाइयाँ | 8 हरी मिठाइयाँ | 7 पीली मिठाइयाँ | 5 नीली मिठाइयाँ (i) प्रतिदर्श से यादृच्छिक रूप से हरी मिठाई निकालने की प्रायिकता की गणना कीजिए। (ii) यदि बड़े थैले में कुल 600 मिठाइयाँ हैं तो प्रतिदर्श के परिणामों के आधार पर आकलन कीजिए कि कितनी मिठाइयों के पीले रंग के होने की संभावना है?
उत्तर

पहले प्रतिदर्श की जाँच कीजिए — 10 + 8 + 7 + 5 = 30 मिठाइयाँ ✓

(i) प्रतिदर्श की प्रत्येक मिठाई के निकलने की संभावना समान है, अतः हरी मिठाइयों को कुल के सापेक्ष गिनिए।

P(हरी) = 8/30
= 4/15 ≈ 0.267 अथवा 26.7%

(ii) प्रतिदर्श से पीली मिठाइयों का अनुपात लीजिए और उसे पूरे थैले पर लगाइए।

P(पीली) = 7/30
600 में अपेक्षित पीली मिठाइयाँ = 600 × 7/30
= 20 × 7
= 140 पीली मिठाइयाँ
ऐसा क्यों होता है: यह सांख्यिकीय प्रायिकता है — आकलन आँकड़ों से आया है, सममिति से नहीं। रंगों के अनुसार मिठाइयाँ समप्रायिक नहीं हैं (थैले में हर रंग की समान संख्या हो, इसका कोई कारण नहीं), अतः "चार रंग हैं" कहकर P(पीली) = 1/4 नहीं लिखा जा सकता। समप्रायिक तो प्रतिदर्श की 30 मिठाइयों में से एक का चयन है, और यही 7/30 भिन्न को वैध बनाता है। इसके बाद 600 तक बढ़ाने में यह मान लिया गया है कि प्रतिदर्श पूरे थैले का प्रतिनिधित्व करता है।
संकेत: 140 एक आकलन है, गिनती नहीं। 30 मिठाइयों का दूसरा प्रतिदर्श 6 या 9 पीली मिठाइयाँ दे सकता है और आकलन 120 या 180 हो जाएगा। बड़ा प्रतिदर्श इसे अधिक सटीक बनाएगा — अध्याय बड़े और प्रतिनिधिक प्रतिदर्श की सलाह इसीलिए देता है।
प्र2.
एक विद्यालय में सर्वेक्षण कराया गया, जहाँ 40 विद्यार्थियों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श से उनका प्रिय क्लब पूछा गया। प्रतिक्रियाएँ इस प्रकार हैं— 14 विद्यार्थी — विज्ञान क्लब | 11 विद्यार्थी — कला क्लब | 9 विद्यार्थी — खेल क्लब | 6 विद्यार्थी — वाद-विवाद क्लब। मान लीजिए कि पूरे विद्यालय में 800 विद्यार्थी हैं। (i) प्रतिदर्श से यादृच्छिक चयनित विद्यार्थी की प्राथमिकता कला क्लब के होने की प्रायिकता क्या है? (ii) प्रतिदर्श के परिणामों का उपयोग करके आकलन कीजिए कि पूरे विद्यालय में कितने विद्यार्थी खेल क्लब को प्राथमिकता देंगे।
उत्तर

प्रतिदर्श की जाँच — 14 + 11 + 9 + 6 = 40 विद्यार्थी ✓

(i)

P(कला क्लब) = 11/40
= 0.275 अथवा 27.5%

(ii) प्रतिदर्श में खेल क्लब का अंश 40 में से 9 है। यही अंश 800 विद्यार्थियों पर लगाइए।

P(खेल क्लब) = 9/40 = 0.225
विद्यालय में अनुमानित संख्या = 800 × 9/40
= 20 × 9
= 180 विद्यार्थी
क्लबप्रतिदर्श में संख्यासापेक्षिक आवृत्ति800 में आकलन
विज्ञान1414/40 = 0.35280
कला1111/40 = 0.275220
खेल99/40 = 0.225180
वाद-विवाद66/40 = 0.15120
कुल401.00800
ऐसा क्यों होता है: चारों सापेक्षिक आवृत्तियों का योग 1 है, ठीक वैसे ही जैसे पूरी प्रतिदर्श समष्टि की प्रायिकताओं का योग होना चाहिए। यह एक उपयोगी जाँच है — यदि आपकी भिन्नों का योग 1 न आए तो कोई प्रतिक्रिया छूट गई है या दो बार गिनी गई है। प्रत्येक को 800 से गुणा करने पर विद्यालय चार भागों में बँटता है जिनका योग पुनः 800 है।
संकेत: आकलन उतना ही अच्छा है जितना प्रतिदर्श। यदि वे 40 विद्यार्थी एक ही कक्षा से या केवल विद्यालय के गायन-दल से चुने गए हों तो 'यादृच्छिक प्रतिदर्श' का दावा टूट जाता है और 180 का अर्थ बहुत कम रह जाता है। पूरे विद्यालय में से चुनने पर ही यह गुणा ईमानदार है।
प्र3.
एक सिक्के को 20 बार उछालिए और प्रत्येक बार परिणाम को अंकित कीजिए (चित अथवा पट)। (i) आपने कितनी बार चित प्राप्त किया? (ii) आपने कितनी बार पट प्राप्त किया? (iii) चित प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता की गणना कीजिए। (iv) यदि आप सिक्के को एक और बार उछालते हैं तब चित प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?
उत्तर

यह प्रश्न वास्तव में करके ही हल होगा — उत्तर आपके अपने आँकड़े हैं। विधि दिखाने के लिए नीचे एक नमूना परिणाम दिया है; आपकी गिनती भिन्न होगी, और यही इस प्रश्न का उद्देश्य है।

उछाल1–56–1011–1516–20
परिणामचि प चि चि पप चि प चि चिचि प प चि पचि चि प चि प

(i) चित = 11 बार    (ii) पट = 9 बार    (11 + 9 = 20 ✓)

(iii)

प्रायोगिक P(चित) = चित आने की संख्या / कुल उछालें
= 11/20
= 0.55 अथवा 55%

(iv) यह भाग आपके आँकड़ों से हल नहीं होता। 21वीं उछाल निष्पक्ष सिक्के का एक नया, स्वतंत्र परीक्षण है।

P(अगली उछाल में चित) = 1/2 = 0.5
ऐसा क्यों होता है: (iii) और (iv) दो अलग प्रश्न हैं और इन्हें मिला देना यहाँ की सबसे बड़ी भूल है। (iii) प्रायोगिक प्रायिकता है — यह घट चुके 20 परीक्षणों का सारांश है, अतः 0.55 आपके आँकड़ों का तथ्य है। (iv) सैद्धांतिक प्रायिकता है — यह अभी न हुए परीक्षण के विषय में है, और निष्पक्ष सिक्के को यह स्मरण नहीं रहता कि चित 11–9 से आगे था। (iv) का उत्तर 11/20 देना उल्टे रूप में द्यूतकार का भ्रम होगा।
यह कीजिए: पूरी कक्षा के परिणाम जोड़ लीजिए। यदि 30 विद्यार्थी 20-20 बार उछालें तो 600 उछालें हो जाएँगी। संयुक्त अनुपात अधिकांश व्यक्तिगत परिणामों की तुलना में 0.5 के कहीं अधिक निकट होगा — बृहत् संख्याओं का नियम, एक ही कालांश में दिखता हुआ।
प्र4.
कागज से निर्मित एक प्याले को हवा में 100 बार उछालिए। प्रत्येक बार उछालने के पश्चात एक कागज पर यह लिखते जाइए कि प्याला अपने निचले तल पर गिरता है, उल्टा होकर ऊपरी भाग पर गिरता है अथवा अपने पार्श्व पर गिरता है (चित्र 7.5 देखिए)। प्रायोगिक प्रायिकता का उपयोग करके परिणामों की प्रायिकता की गणना कीजिए।
उत्तर

यहाँ प्रतिदर्श समष्टि S = {तल, ऊपरी भाग, पार्श्व} है और n(S) = 3 — परंतु प्रत्येक के लिए 1/3 नहीं लिखा जा सकता। कागज का प्याला सममितीय नहीं है, अतः ये तीनों परिणाम समप्रायिक नहीं हैं। इनकी प्रायिकताएँ ज्ञात करने का एकमात्र ईमानदार तरीका उछालकर गिनना है।

100 उछालों का एक विशिष्ट परिणाम, और उससे बनी प्रायिकताएँ —

गिरने की स्थितिगिनती (100 में से)सापेक्षिक आवृत्तिप्रायोगिक प्रायिकता
निचला तल (सीधा)2222/1000.22
ऊपरी भाग (उल्टा)1818/1000.18
पार्श्व6060/1000.60
कुल100100/1001.00
प्रायोगिक P(पार्श्व) = 60/100 = 0.60
प्रायोगिक P(तल) = 22/100 = 0.22
प्रायोगिक P(ऊपरी भाग) = 18/100 = 0.18
जाँच — 0.60 + 0.22 + 0.18 = 1 ✓
ऐसा क्यों होता है: यह प्रयोग अध्याय में ठीक इसीलिए है कि परिणामों की संख्या से भाग देने की आदत टूटे। गिनती का सूत्र P = n(A)/n(S) केवल तभी वैध है जब प्रत्येक परिणाम समप्रायिक हो, और प्याला ऐसा मानने का कोई कारण नहीं देता — उसकी गोल दीवार का क्षेत्रफल किसी भी किनारे से कहीं अधिक है, इसलिए 'पार्श्व' सबसे अधिक आता है। जहाँ सममिति से तर्क नहीं किया जा सकता, वहाँ प्रमाण ही एकमात्र मार्ग है — यही सैद्धांतिक और प्रायोगिक प्रायिकता का पूरा भेद है।
स्वयं जाँचिए: परिणामों को 20-20 के समूहों में लिखिए और 'पार्श्व' का चलता हुआ अनुपात आलेखित कीजिए। आरंभ में वह उछलेगा और उछालों के बढ़ने के साथ स्थिर होता जाएगा। अब भिन्न आकार का प्याला — अधिक चौड़ा और कम ऊँचा — लीजिए; तीनों प्रायिकताएँ बदल जाएँगी। इससे सिद्ध होता है कि ये उस विशेष प्याले के गुण हैं, संख्या 3 के नहीं।
प्र5.
एक निष्पक्ष षट्फलकीय पासे को फेंकने पर एक सम संख्या को प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?
उत्तर
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, अतः n(S) = 6
E = 'सम संख्या' = {2, 4, 6}, अतः n(E) = 3
P(E) = n(E)/n(S) = 3/6
= 1/2 = 0.5 अथवा 50%
ऐसा क्यों होता है: पासा निष्पक्ष है, अतः छहों फलक समप्रायिक हैं और गिनती का सूत्र बिना किसी अतिरिक्त विचार के लागू होता है। छह में से तीन फलकों पर सम संख्याएँ हैं, अर्थात ठीक आधे परिणाम अनुकूल हैं। इसी तर्क से P(विषम) = 3/6 = 1/2, और P(सम) + P(विषम) = 1 — जैसा होना ही चाहिए, क्योंकि प्रत्येक फेंक इन्हीं दो में से एक है।
संकेत: उत्तर 1/2 केवल इसलिए है क्योंकि इस पासे पर सम और विषम संख्याएँ बराबर हैं। यदि पासे पर 1, 1, 2, 3, 4, 5 अंकित हों तो फलकों की प्रतिदर्श समष्टि में अब भी छह समप्रायिक तत्त्व होंगे, परंतु सम संख्या केवल दो फलकों पर होगी, अतः P(सम) = 2/6 = 1/3. सदैव फलक गिनिए, उन पर लिखी संख्याएँ नहीं।
प्र6.
मान लीजिए, आप एक षट्फलकीय पासे को 12 बार फेंकते हैं और तीन बार अंक ‘3’ प्राप्त करते हैं। (i) पासे पर ‘3’ आने की प्रायोगिक प्रायिकता क्या है? (ii) पासे पर ‘3’ आने की सैद्धांतिक प्रायिकता क्या है? (iii) इन प्रायिकताओं में भिन्नता क्यों हो सकती है? यदि आप पासे को 60, 600 या 6000 बार फेंकें तो क्या प्राप्त होने की अपेक्षा करेंगे?
उत्तर

(i) आँकड़ों से —

प्रायोगिक P(3) = 3 आने की संख्या / कुल फेंक
= 3/12
= 1/4 = 0.25 अथवा 25%

(ii) निष्पक्ष पासे की सममिति से —

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6; अनुकूल = {3}, n = 1
सैद्धांतिक P(3) = 1/6 = 0.1666… ≈ 0.167 अथवा 16.7%

(iii) भिन्नता इसलिए है कि 12 फेंक बहुत छोटी शृंखला है। 12 फेंकों में 3 आने की अपेक्षित संख्या 12 × 1/6 = 2 है, और 2 के स्थान पर 3 आ जाना एक साधारण उतार-चढ़ाव है — केवल एक अतिरिक्त 3 भिन्न को 0.167 से 0.25 तक पहुँचा देता है, क्योंकि हर इतना छोटा है।

फेंकों की संख्याअपेक्षित 3 (n × 1/6)एक अतिरिक्त 3 से P में परिवर्तनक्या अपेक्षा करें
1220.083बड़े उतार-चढ़ाव; 0.25 या 0.08 असामान्य नहीं
60100.017प्रायः लगभग 0.10 से 0.23 के बीच
6001000.0017प्रायः 0.15–0.19 के निकट
600010000.000170.167 के बहुत निकट
ऐसा क्यों होता है: प्रायोगिक प्रायिकता एक ऐसी भिन्न है जिसका हर परीक्षणों की संख्या है। हर जितना बढ़ता है, कोई एक अप्रत्याशित परिणाम भिन्न को उतना ही कम हिलाता है, अतः मान स्थिर होता जाता है। यही बृहत् संख्याओं का नियम है — परीक्षण बढ़ने पर प्रायोगिक प्रायिकता 1/6 की ओर बढ़ती है। ध्यान दीजिए कि यह क्या नहीं कहता — यह कभी नहीं कहता कि गिनतियाँ बराबर हो जाएँगी, केवल यह कि अनुपात स्थिर होता जाएगा।
संकेत: यदि 6000 फेंकों के बाद भी लगभग 0.25 ही मिले तो उचित निष्कर्ष यह नहीं होगा कि "नियम विफल हो गया", अपितु यह कि "यह पासा निष्पक्ष नहीं है"। किसी मान्यता की जाँच के लिए प्रायोगिक प्रायिकता का उपयोग इसी प्रकार होता है।
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