कक्षा ९ गणित अध्याय 7 प्रश्नावली 7.3 के लिए एनसीईआरटी समाधान

अद्यतन2026-09-08

प्र1.

जब एक षट्फलकीय पासा फेंका जाता है तो प्रतिदर्श समष्टि में संभावित परिणामों की कुल संख्या कितनी होगी?

उत्तर

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6

ऐसा क्यों होता है: पासे के छह फलक हैं और ठीक एक फलक ऊपर आता है, अतः छह संभावित परिणाम हैं, इससे अधिक नहीं। यह सूची प्रतिदर्श समष्टि की दोनों शर्तें पूरी करती है — प्रत्येक परिणाम है और कोई दो बार नहीं है — और चूँकि पासा निष्पक्ष है, छहों समप्रायिक हैं, प्रत्येक की प्रायिकता 1/6.

संकेत: n(S) परिणाम गिनता है, उनके विषय में पूछे गए किसी प्रश्न के उत्तर नहीं। "सम या विषम" इन्हीं छह परिणामों को दो घटनाओं में समूहित करने का एक ढंग है; इससे प्रतिदर्श समष्टि दो तत्त्वों की नहीं हो जाती।

प्र2.

निम्नलिखित प्रयोगों के लिए प्रतिदर्श समष्टि S लिखिए— (i) एक साथ एक पासा फेंकना और एक सिक्का उछालना। (ii) −5 और +5 के मध्य एक पूर्णांक का यादृच्छिक चयन करना। (iii) एक बक्से में 5 हरी और 7 लाल गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली गई।

उत्तर

(i) पासा और सिक्का एक साथ। पासे के 6 फलकों में से प्रत्येक, सिक्के के 2 परिणामों में से प्रत्येक के साथ जुड़ सकता है।

S = {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H),
(1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T)}
n(S) = 6 × 2 = 12

ये बारहों समप्रायिक हैं, प्रत्येक की प्रायिकता 1/12.

(ii) −5 और +5 के मध्य एक पूर्णांक। 'मध्य' का कठोर अर्थ लेने पर दोनों सिरे सम्मिलित नहीं होते —

S = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}
n(S) = 9

यदि सिरों को भी सम्मिलित मानना हो तो S = {−5, −4, …, 4, 5} और n(S) = 11 होगा। आप कौन-सा अर्थ ले रहे हैं, यह लिखना भी उत्तर का भाग है।

(iii) 5 हरी और 7 लाल गेंदों में से एक। दो सही प्रतिदर्श समष्टियाँ बनती हैं, और वे एक-दूसरे का स्थान नहीं ले सकतीं —

प्रतिदर्श समष्टि	n(S)	समप्रायिक?	किस काम की
S = {हरी, लाल}	2	नहीं — P(हरी) = 5/12, P(लाल) = 7/12	क्या हो सकता है, यह बताने के लिए
S = {ह₁, …, ह₅, ला₁, …, ला₇}	12	हाँ — प्रत्येक 1/12	प्रायिकता की गणना के लिए

ऐसा क्यों होता है: यह इस अनुभाग का सबसे महत्त्वपूर्ण विचार है। {हरी, लाल} पूर्णतया वैध प्रतिदर्श समष्टि है — वह पूर्ण है और उसमें कोई पुनरावृत्ति नहीं — परंतु उसके दोनों तत्त्व समप्रायिक नहीं हैं, क्योंकि लाल गेंदें हरी से अधिक हैं। अतः उस पर गिनती का सूत्र नहीं लगाया जा सकता — P(हरी) 5/12 है, 1/2 नहीं। गेंदों को ह₁…ह₅, ला₁…ला₇ नाम देने पर 12 ऐसे परिणाम बनते हैं जो वास्तव में समप्रायिक हैं, क्योंकि निकासी यादृच्छिक है और हर गेंद के निकलने की संभावना समान है। तभी n(A)/n(S) सही उत्तर 5/12 देता है।

संकेत: n(S) से भाग देने से पहले हर बार स्वयं से पूछिए — "क्या मैं इन सब पर बराबर दाँव लगाऊँगा?" यदि उत्तर 'नहीं' है तो सूची को तब तक सूक्ष्म कीजिए जब तक उत्तर 'हाँ' न हो जाए।

प्र3.

एक ग्रामीण मेले में 3 लोकप्रिय नाश्ते उपलब्ध हैं— समोसा, पकौड़ा और भाजी। पेय पदार्थों में ग्रामीण व्यक्ति चाय या लस्सी का चयन कर सकते हैं। (i) नाश्ते और पेय के सभी संभव संयोजन जो एक व्यक्ति मेले में चयनित कर सकता है, के प्रतिदर्श समष्टि सूचीबद्ध कीजिए। (ii) ‘समोसे को नाश्ते के रूप में चयनित करने’ की घटना को सूचीबद्ध कीजिए।

उत्तर

(i) प्रत्येक नाश्ते को प्रत्येक पेय के साथ जोड़िए —

S = {(समोसा, चाय), (समोसा, लस्सी),
(पकौड़ा, चाय), (पकौड़ा, लस्सी),
(भाजी, चाय), (भाजी, लस्सी)}
n(S) = 3 × 2 = 6

	चाय	लस्सी
समोसा	(समोसा, चाय)	(समोसा, लस्सी)
पकौड़ा	(पकौड़ा, चाय)	(पकौड़ा, लस्सी)
भाजी	(भाजी, चाय)	(भाजी, लस्सी)

(ii) घटना उन परिणामों का समुच्चय है जिनमें नाश्ता समोसा है — अर्थात ऊपर रेखांकित पहली पंक्ति —

E = {(समोसा, चाय), (समोसा, लस्सी)}
n(E) = 2

यदि व्यक्ति नाश्ता और पेय पूर्णतया यादृच्छिक रूप से चुने तो P(E) = 2/6 = 1/3.

ऐसा क्यों होता है: सारणी दिखाती है कि 3 × 2 = 6 क्यों होता है और 3 + 2 = 5 क्यों नहीं। दोनों चयन साथ-साथ होते हैं, अतः प्रत्येक नाश्ते के साथ हर पेय जुड़ना ही चाहिए; प्रतिदर्श समष्टि का एक तत्त्व सारणी का एक खाना है, कोई पूरी पंक्ति या स्तंभ नहीं। 'समोसा' वाली घटना पूरी एक पंक्ति है — यह स्मरण दिलाती है कि घटना प्रतिदर्श समष्टि का उपसमुच्चय है और उसमें एक से अधिक परिणाम हो सकते हैं, यहाँ दो।

संकेत: यही 3 × 2 सारणी उस वृक्ष आरेख की प्रतिदर्श समष्टि भी है जिसमें पहले चरण की 3 और दूसरे चरण की 2 शाखाएँ हों — अगले अनुभाग का चित्र 7.6 ठीक यही चित्र है, बस बगल से खींचा हुआ।

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